Perpustakaan Digital ITB

Matriks MDS (maximum distance separable) adalah matriks yang memiliki bilangan cabang maksimum dan berperan penting dalam perancangan lapisan difusi pada kriptografi blok. Disertasi ini mengkaji eksistensi matriks MDS sirkulan involutori atas lapangan hingga F???? dan gelanggang komutatif hingga, khususnya gelanggang B????,???? dan R2,????, dengan ???? = ???????? , di mana ???? adalah bilangan prima dan ???? bilangan bulat positif. Kajian ini selanjutnya diperluas ke gelanggang lokal hingga dan gelanggang komutatif hingga, serta mencakup matriks MDS ????-sirkulan ortogonal. Dengan menggunakan pendekatan teoretis aljabar melalui analisis dekomposisi polinomial, representasi idempoten, epimorfisma kanonik ke lapangan residu, dan dekomposisi matriks atas gelanggang ke dalam matriks-matriks komponen atas lapangan, diperoleh bahwa konjektur Cauchois dan Loidreau mengenai kecukupan syarat perlu bagi eksistensi matriks MDS sirkulan involutori tidak berlaku secara umum. Meskipun demikian, pada kasus tertentu atas lapangan F????, untuk setiap bilangan prima ganjil ???? > 3, konstruksi matriks tersebut masih dapat dilakukan. Selain itu, dibuktikan bahwa untuk orde genap tertentu tidak terdapat matriks MDS sirkulan involutori pada gelanggang ????????,???? dan ????2,????, sedangkan untuk beberapa orde ganjil berhasil dikonstruksi contohnya, termasuk untuk orde 3. Penelitian ini juga menunjukkan bahwa sifat MDS dari matriks sirkulan ortogonal maupun involutori atas gelanggang lokal hingga ditentukan oleh sifat matriks-matriks komponennya pada lapangan residu. Dengan demikian, hasil-hasil ketidakeksistensian tersebut dapat digeneralisasi ke gelanggang komutatif hingga. Lebih lanjut, dibuktikan bahwa matriks MDS ????-sirkulan ortogonal berorde 2???? tidak ada pada gelanggang komutatif hingga berkarakteristik 2. Hasil-hasil tersebut memperluas teori eksistensi matriks MDS dari lapangan hingga ke kelas gelanggang yang lebih umum, serta menegaskan bahwa struktur aljabar gelanggang dan orde matriks memegang peranan penting dalam menentukan keberadaan matriks MDS yang relevan bagi konstruksi lapisan difusi yang efisien.