Perpustakaan Digital ITB

Disertasi ini merupakan studi tentang solusi persamaan gelombang linear berbasis ruas pada suatu graf kuantum. Persamaan gelombang pada graf dibangun oleh operator Laplace berbasis ruas yang bergantung pada kondisi simpul dan bentuk atau struktur graf tersebut. Motivasi utama penelitian ini datang dari masalah pengiriman paket gelombang pada jaringan yang kompleks. Secara matematis masalah ini diterjemahkan ke dalam studi perambatan gelombang pada struktur diskret yaitu graf kuantum. Secara spesifik, tujuan penelitian ini adalah studi persamaan gelombang pada graf melalui spektrum operator Laplace berbasis ruas pada graf kuantum yang disertai berbagai kondisi simpul. Akan ditinjau pula aspek aplikasi hal di atas dalam menyelesaikan permasalahan kondisi awal dan kondisi simpul persamaan gelombang linear berbasis ruas pada graf kuantum. Hasil-hasil yang mendasari penelitian ini adalah model persamaan gelombang pada graf yang diperkenalkan oleh Friedman dan Tillich (2004) dan penelitian mengenai penanda paket gelombang pada jaringan kompleks oleh Azis, Wilson, dan Hancock (2019). Ada dua topik utama yang dibahas. Pertama adalah metode alternatif untuk menentukan spektrum operator Laplace pada pohon kuantum ekuilateral yang simpul tepinya berkondisi Dirichlet. Dalam hal ini akan dibahas matriks hamburan pada graf kuantum untuk kondisi Dirichlet maupun Robin. Topik kedua membahas mengenai beberapa persamaan gelombang linear pada graf kuantum ekuilateral yang diberikan kondisi simpul Dirichlet dan Neumann. Metode alternatif yang dibahas pada topik pertama adalah modifikasi metode kalkulus ketetanggaan untuk analisis spektral operator Laplace pada graf kuantum. Metode Kalkulus Ketetanggaan yang diperkenalkan oleh Von Below (1984), hanya dapat dilakukan pada graf kuantum berkondisi Neumann dan Neumann Kirchhoff pada simpul interior. Pada bagian ini dilakukan proses modifikasi kalkulus ketetanggaan tersebut untuk masalahan operator Laplace pada pohon kuantum yang mana simpul tepinya berkondisi Dirichlet. Selanjutnya hasil yang diperoleh dibandingkan dengan metode analisis spektral sekular determinan yang menggunakan matriks hamburan yang diperkenalkan oleh Jean-Pierre Roth (1984). Pembahasan topik ini merujuk kepada penelitian perbandingan spektral dari operator Laplace pada graf metrik berhingga oleh Klawonn (2019) dan teori graf kuantum oleh Berkolaiko (2016). Pada bagian ini, diperoleh bentuk matriks hamburan untuk graf kuantum berkondisi Dirichlet maupun Robin. Pada topik kedua, hasil yang diperoleh dari pembahasan topik pertama digunakan untuk menyelesaikan model persamaan gelombang berbasis ruas dengan menggunakan operator Laplace. Pada bagian ini, ada empat model persamaan gelombang linear yang dibahas. Yaitu, model persamaan gelombang linear biasa pada pohon kuantum dengan kondisi simpul Dirichlet, model persamaan gelombang linear teredam pada graf siklus, model persamaan gelombang linear dengan gaya elastis, dan model persamaan gelombang linear nonhomogen pada graf bintang.