Disertasi ini merupakan studi tentang solusi persamaan gelombang linear berbasis
ruas pada suatu graf kuantum. Persamaan gelombang pada graf dibangun oleh
operator Laplace berbasis ruas yang bergantung pada kondisi simpul dan bentuk
atau struktur graf tersebut.
Motivasi utama penelitian ini datang dari masalah pengiriman paket gelombang
pada jaringan yang kompleks. Secara matematis masalah ini diterjemahkan ke
dalam studi perambatan gelombang pada struktur diskret yaitu graf kuantum.
Secara spesifik, tujuan penelitian ini adalah studi persamaan gelombang pada graf
melalui spektrum operator Laplace berbasis ruas pada graf kuantum yang disertai
berbagai kondisi simpul. Akan ditinjau pula aspek aplikasi hal di atas dalam menyelesaikan
permasalahan kondisi awal dan kondisi simpul persamaan gelombang
linear berbasis ruas pada graf kuantum. Hasil-hasil yang mendasari penelitian ini
adalah model persamaan gelombang pada graf yang diperkenalkan oleh Friedman
dan Tillich (2004) dan penelitian mengenai penanda paket gelombang pada jaringan
kompleks oleh Azis, Wilson, dan Hancock (2019).
Ada dua topik utama yang dibahas. Pertama adalah metode alternatif untuk menentukan
spektrum operator Laplace pada pohon kuantum ekuilateral yang simpul
tepinya berkondisi Dirichlet. Dalam hal ini akan dibahas matriks hamburan pada
graf kuantum untuk kondisi Dirichlet maupun Robin. Topik kedua membahas
mengenai beberapa persamaan gelombang linear pada graf kuantum ekuilateral
yang diberikan kondisi simpul Dirichlet dan Neumann.
Metode alternatif yang dibahas pada topik pertama adalah modifikasi metode
kalkulus ketetanggaan untuk analisis spektral operator Laplace pada graf kuantum.
Metode Kalkulus Ketetanggaan yang diperkenalkan oleh Von Below (1984), hanya
dapat dilakukan pada graf kuantum berkondisi Neumann dan Neumann Kirchhoff
pada simpul interior. Pada bagian ini dilakukan proses modifikasi kalkulus
ketetanggaan tersebut untuk masalahan operator Laplace pada pohon kuantum yang
mana simpul tepinya berkondisi Dirichlet. Selanjutnya hasil yang diperoleh dibandingkan
dengan metode analisis spektral sekular determinan yang menggunakan matriks hamburan yang diperkenalkan oleh Jean-Pierre Roth (1984). Pembahasan
topik ini merujuk kepada penelitian perbandingan spektral dari operator Laplace
pada graf metrik berhingga oleh Klawonn (2019) dan teori graf kuantum oleh
Berkolaiko (2016). Pada bagian ini, diperoleh bentuk matriks hamburan untuk graf
kuantum berkondisi Dirichlet maupun Robin.
Pada topik kedua, hasil yang diperoleh dari pembahasan topik pertama digunakan
untuk menyelesaikan model persamaan gelombang berbasis ruas dengan menggunakan
operator Laplace. Pada bagian ini, ada empat model persamaan gelombang
linear yang dibahas. Yaitu, model persamaan gelombang linear biasa pada pohon
kuantum dengan kondisi simpul Dirichlet, model persamaan gelombang linear
teredam pada graf siklus, model persamaan gelombang linear dengan gaya elastis,
dan model persamaan gelombang linear nonhomogen pada graf bintang.