Perpustakaan Digital ITB

Gelanggang endomorfisma dari suatu modul merupakan objek aljabar yang penting untuk dikaji secara tersendiri. Hal ini dikarenakan struktur aljabar dari gelanggang endomorfisma suatu modul jauh lebih kaya dan kompleks dibandingkan dengan modul yang mendasarinya. Salah satu yang dibahas dalam penelitian ini adalah kajian tentang gelanggang endomorfisma dari hasil kali langsung grup aditif modulo. Kajian ini menjadi salah satu topik yang menarik perhatian yang dimulai dari penelitian yang dilakukan oleh Bergman pada tahun 1974. Untuk bilangan prima ????, Bergman mengemukakan bahwa himpunan endomorfisma, End (Z???? × Z????2 ), yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian endomorfisma membentuk gelanggang tak komutatif dengan ????5 unsur. Lebih lanjut, Climent dkk. mengidentifikasi setiap unsur di End (Z???? × Z????2 ) sebagai suatu matriks berukuran 2 × 2 yang mana entri dari baris pertamanya merupakan unsur di Z???? dan entri pada baris keduanya merupakan unsur di Z????2 . Pada periode berikutnya, Long dkk. mengonstruksi kriptosistem analog RSA atas gelanggang End (Z???? × Z????2 ) dengan memanfaatkan karakterisasi yang dikemukakan oleh Climent dkk. Di luar itu, Yun Gao dan Yonglin Cao memperluas karakterisasi ke ranah gelanggang suku banyak modulo ???? (????) atas Z????2 . Dalam penelitiannya, keduanya berhasil menentukan karakterisasi struktur gelanggang endomorfisma End Z???? [????] ? ¯ ???? (????)? × Z????2 [????] ? ???? (????)? , dengan ???? (????) merupakan suku banyak monik basic tak tereduksi di Z????2 [????] dan ¯ ???? (????) = ???? (????) mod ????. Di sisi lain, Liu dan Liu mengobservasi karakteristik End(Z????×Z????????) untuk bilangan bulat ???? ? 2. Hal ini memperluas cakupan kajian dari kasus ????2 ke kasus ???????? yang lebih umum. Bertumpu pada karakterisasi ini, Tran Dinh Long dan Le Thi Kim Nga mengonstruksi kriptosistem analog RSA atas End(Z???? × Z????????). Meskipun demikian, karakterisasi gelanggang endomorfisma dalam konteks yang melibatkan struktur suku banyak sekaligus parameter ???? ? 2 secara bersamaan belum dikaji secara menyeluruh. Mengacu pada keseluruhan perkembangan di atas, penelitian ini mengkaji karakterisasi gelanggang endomorfisma End Z???? [????] ? ¯ ???? (????)? × Z???????? [????] ? ???? (????)? , dengan ???? (????) merupakan suku banyak monik basic tak tereduksi di Z???????? [????] dan ¯ ???? (????) = ???? (????) mod ????. Lebih jauh, penelitian ini juga mengkaji peluang kriptosistem analog RSA atas gelanggang tersebut. Sebagai hasil utama, penelitian ini menghasilkan representasi matriks eksplisit bagi setiap unsur gelanggang endomorfisma tersebut, karakterisasi unsur-unsur unit beserta struktur grup unit dari gelanggang, serta mengonstruksi kriptosistem analaog RSA yang dibangun atas monoid perkalian dari perluasan gelanggang endomorfisma terkait.