Perpustakaan Digital ITB

Gagasan hipergraf dikembangkan dari graf. Sisi pada graf memuat dua titik sedangkan sisi pada hipergraf dapat memuat lebih dari dua titik. Pada disertasi ini, sisi pada hipergaf disebut hipersisi. Dua titik dikatakan bertetangga pada hipergraf, jika terdapat suatu hipersisi yang memuat kedua titik tersebut. Hipergraf dapat direpresentasikan dengan matriks ketetanggaan, matriks Laplace, dan matriks keterkaitan. Matriks Laplace merupakan matriks simetri dan semidefinit positif sehingga semua nilai eigennya bernilai real dan taknegatif. Objek kajian pada disertasi ini adalah matriks Laplace pada dua kelas hipergraf seragam yakni hipergraf tripartit lengkap dan r-seragam lengkap. Gagasan hipergraf tripartit lengkap dikembangkan dari graf tripartit lengkap. Hipergraf dikatakan tripartit lengkap jika himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi tiga subhimpunan yang saling bebas dan setiap tiga titik dari partisi berbeda merupakan unsur dari hipersisi. Suatu hipergraf berorde n dikatakan r-seragam lengkap jika kardinalitas dari setiap hipersisinya adalah r dan setiap r titik membentuk suatu hipersisi. Bagian awal disertasi ini mengkaji tentang keterkaitan antara derajat Laplace dan nilai eigen dari hipergraf tripartit lengkap. Hasil penelitian menunjukkan bahwa derajat Laplace pada hipergraf tripartit lengkap merupakan kardinalitas subhimpunan titiknya. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa derajat Laplace minimum merupakan nilai eigen tak nol dari hipergraf tersebut. Hasil lainnya tentang derajat Laplace dari hipergraf tripartit lengkap yaitu diperoleh hubungan antara batas nilai eigen terbesar dan derajat Laplace dari hipergraf tersebut. Hasil utama pada disertasi ini tentang karakterisasi hipergraf Laplace integral pada hipergraf tripartit lengkap dan r-seragam lengkap. Suatu hipergraf dikatakan Laplace integral jika semua nilai eigen dari matriks Laplace hipergraf tersebut merupakan bilangan bulat. Dapat ditunjukkan bahwa hipergraf tripartit lengkap Laplace integral jika dan hanya jika dua subhimpunan titiknya mempunyai kardinalitas sama. Selain itu, ditunjukkan bahwa hipergraf r-seragam lengkap adalah Laplace integral.