Perpustakaan Digital ITB

Dalam tesis ini, eksplorasi masalah isoperimetrik pada bangun ruang berfokus pada bangun ruang beraturan dan tidak beraturan. Bangun ruang yang beraturan meliputi prisma dengan alas beraturan, tabung, limas alas beraturan, kerucut, dan bola. Bangun ruang yang tidak beraturan meliputi prisma dengan alas segitiga dan segi empat. Masalah isoperimetrik pada bangun ruang merupakan pencarian bangun ruang dengan volume terbesar di antara bangun ruang yang memiliki luas permukaan yang sama. Pokok masalah dalam tulisan ini adalah menemukan bangun ruang apa yang akan menghasilkan volume terbesar di antara bangun ruang dengan luas permukaan yang sama. Dari beberapa referensi yang sudah ada, belum ada yang membahas yang lebih detail mengenai masalah isoperimetrik pada bangun ruang. Tidak penjelasan rinci terkait solusi masalah isoperimetik pada bangun ruang dan tidak ada bukti dari masalah tersebut. Proses pembuktian masalah isoperimetrik dalam tesis ini menggunakan konsep kalkulus, trigonometri, dan aljabar dengan pendekatan yang sederhana dan elementer. Selain itu juga menggunakan pembuktian secara geometris untuk mendukung hasil dari perhitungan. Masalah isoperimetrik pada bangun ruang dapat ditinjau pada kasus yang lebih sederhana yaitu pada balok. Jika memisalkan panjang sama dengan lebar balok, maka volume maksimum balok akan sama dengan volume kubus dengan luas permukaan yang sama. Hal tersebut dapat diperumum dengan balok yang mempunyai panjang, lebar, dan tinggi berbeda akan menghasilkan hal yang sama. Selain itu, pada pembuktian secara geometris, pernyataan bahwa masalah pencarian volume terbesar pada bangun ruang tertentu yang memiliki luas permukaan yang sama merupakan pernyataan yang ekuivalen dengan masalah pencarian luas permukaan terkecil pada bangun ruang tertentu yang memiliki volume yang sama. Pada pembuktian ini, diperoleh luas permukaan kubus lebih kecil dari luas permukaan balok dengan volume kedua bangun tersebut sama. Pada prisma dengan alas segitiga sama sisi, persegi, dan segi enam beraturan, dengan luas permukaan yang sama, volume maksimum prisma dengan alas segitiga sama sisi kurang dari volume maksimum prisma dengan alas persegi, kurang dari volume maksimum prisma dengan alas segi enam beraturan. Di antara prisma dengan alas segi-n beraturan dan tabung, dengan luas permukaan kedua bangun sama, volume maksimum prisma segi-n beraturan selalu lebih kecil dari volume maksimum tabung. Selain itu, pada pembuktian secara geometris menunjukkan bahwa luas permukaan tabung lebih kecil dari luas permukaan prisma dengan alas segi-n beraturan dengan volume kedua bangun tersebut sama. Pada prisma dengan alas segitiga, ditinjau masalah isoperimetrik dengan alas-alasnya yaitu segitiga sama kaki siku-siku, segitiga sama kaki, segitiga siku-siku, dan segitiga sebarang. Diperoleh bahwa jika semua bangun ruang prisma dengan alas segitiga memiliki luas permukaan yang sama, volume maksimum prisma dengan alas segitiga (dengan alas segitiga apapun) kurang dari volume maksimum prisma dengan alas segitiga sama sisi. Pada pembuktian secara geometris, luas permukaan prisma dengan alas segitiga sama sisi lebih kecil dari luas permukaan prisma dengan alas segitiga dengan volume kedua bangun tersebut sama. Pada prisma dengan alas segi empat, ditinjau masalah isoperimetrik dengan alas-alasnya yaitu persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium sama kaki, trapesium siku-siku, dan trapesium sebarang. Diperoleh bahwa jika semua bangun ruang prisma dengan alas segi empat memiliki luas permukaan yang sama, volume maksimum prisma dengan alas segi empat (dengan alas segi empat apapun) kurang dari volume maksimum prisma dengan alas persegi. Pada pembuktian secara geometris, luas permukaan kubus lebih kecil dari luas permukaan prisma dengan segi empat dengan volume kedua bangun tersebut sama. Pada limas dengan alas segitiga sama sisi, persegi, dan segi enam beraturan, dengan luas permukaan yang sama, volume maksimum limas dengan alas segitiga sama sisi kurang dari volume maksimum limas dengan alas persegi, kurang dari volume maksimum limas dengan alas segi enam beraturan. Di antara limas dengan alas segi-n beraturan dan kerucut, dengan luas permukaan kedua bangun sama, volume maksimum limas segi-n beraturan selalu lebih kecil dari volume maksimum kerucut. Hasil yang diperoleh bahwa bola merupakan bangun ruang dengan volume terbesar di antara prisma dengan alas beraturan, tabung, limas dengan alas beraturan, kerucut, jika semua bangun ruang memiliki luas permukaan yang sama. Pada prisma dengan alas segitiga, prisma dengan alas segitiga sama sisi memiliki volume terbesar di antara semua prisma dengan alas segitiga (dengan alas segitiga apapun), jika bangun-bangun tersebut memiliki luas permukaan yang sama. Pada prisma dengan alas segi empat, prisma dengan alas persegi memiliki volume terbesar di antara semua prisma dengan alas segi empat (dengan alas segi emat apapun), jika bangun-bangun tersebut memiliki luas permukaan yang sama.