Perpustakaan Digital ITB

Persamaan nonlinear Schr¨odinger adalah persamaan yang banyak diaplikasikan dalam berbagai macam bidang keilmuan, baik untuk kasus kontinu maupun kasus diskrit. Kedua kasus tersebut dapat menghasilkan kasus snaking dengan faktor utama dalam kasus diskrit adalah bagian Laplacian. Dalam tesis ini, akan diperiksa snaking dari persamaan nonlinear Schr¨odinger diskrit dengan kisi wajik satu dimensi. Persamaan ini dapat ditransformasi menjadi persamaan diskrit Allen-Cahn time-independent. Beberapa metode numerik utama yang akan digunakan dalam tesis ini adalah kontinuasi numerik dan metode augmented. Kontinuasi numerik digunakan untuk melihat perubahan solusi suatu persamaan differensial terhadap suatu parameter dan merupakan salah satu alat utama untuk membuat diagram bifurkasi. Metode augmented digunakan untuk mencari titik bifurkasi suatu persamaan diferensial dengan menambahkan syarat keberadaan nilai eigen bernilai nol. Karena solusi dari persamaan nonlinear Schr¨odinger tidak dapat dicari secara analitik, diperlukan metode numerik tambahan untuk mencari solusi persamaan tersebut. Metode yang digunakan untuk mencari solusi adalah metode optimasi. Pada kasus kisi satu dimensi, terdapat lima solusi uniform; satu solusi trival, dua solusi upper, dan dua solusi lower. Solusi trivial akan bersifat stabil linear saat parameter frekuensi bernilai negatif dan tidak stabil saat parameter bernilai positif. Solusi uniform upper akan selalu stabil linear dan solusi uniform lower akan selalu tidak stabil. Kestabilan linear dari solusi uniform dapat diperiksa dengan menggunakan persamaan relasi dispersi. Persamaan relasi dispersi didapat dengan mencari solusi di sekitar solusi uniform dengan bentuk menyerupai solusi persamaan difusi. Dengan parameter bagian nonlinear tertentu, terdapat selang frekuensi sehingga terdapat dua solusi stabil. Di daerah bistabil ini, terdapat solusi localized dengan kriteria terdapat site yang berada di solusi upper dan ada site lain yang berada di solusi trivial. Penghubung antar solusi stabil disebut sebagai front dan menjadi faktor utama kestabilan solusi localized. Analisis perubahan solusi localized terhadap parameter frekuensi dapat memunculkan perilaku snaking. Snaking dapat dilihat sebagai perubahan kestabilan dari solusi localized sedemikian hingga diagram bifurkasi berbentuk mengular. Kemudian lebar snaking akan mengecil seiring dengan membesarnya coupling strength. Ini menunjukkan bahwa persamaan akan tidak memiliki snaking pada kasus kontinu. Lebar snaking ini akan disebut sebagai pinning region Pada kasus kisi wajik satu dimensi, site dibagi menjadi tiga bagian untuk memudahkan definisi. Sistem ini memiliki solusi uniform dengan kestabilan linear yang serupa dengan kasus kisi satu dimensi. Perbedaan pertama pada kasus kisi wajik satu dimensi adalah adanya tiga persamaan relasi dispersi, dengan satu persamaan membentuk flat-band. Di daerah bistabil, terdapat solusi localized, dengan dua jenis solusi site-centred dan solusi bond-centred. Snaking pada kasus kisi wajik satu dimensi akan muncul jika kontinuasi numerik dimulai dari kasus site-centred. Hal ini dikarenakan solusi localized yang didapatkan harus memiliki sifat simetri. Kemudian snaking akan memiliki kasus snaking tambahan yang disebut sebagai inner snaking. Hal ini disebabkan oleh tidak seragamnya front akibat perbedaan struktur. Kemudian, pinning region untuk inner snaking akan lebih cepat menghilang dibandingkan pinning region dari snaking utama untuk coupling strength yang membesar. Hal ini menandakan bahwa struktur wajik satu dimensi akan mendekati struktur satu dimensi terlebih dahulu sebelum menjadi kasus kontinu. Lebih jauh lagi, pinning region pada kasus kisi wajik satu dimensi lebih besar daripada pinning region pada kasus kisi satu dimensi. Ini karena struktur kisi wajik yang lebih luas daripada kisi satu dimensi sehingga perlu coupling strength yang lebih besar untuk meniadakan kasus snaking. Pinning region yang didapatkan dengan menggunakan metode augmented akan lebih besar dibandingkan dengan melakukan snaking karena snaking tidak dapat secara eksak menentukan titik bifurkasi saddle-node dan selalu berubah arah di nilai yang lebih kecil.