Perpustakaan Digital ITB

Ide mengenai grup Lie dan aljabar Lie pertama kali dicetuskan oleh Sophus Lie pada tahun 1870-an saat meneliti mengenai grup transformasi. Grup Lie yang sekarang kita kenal merupakan manifold mulus yang juga memiliki struktur Grup, sedangkan aljabar Lie merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian bilinear Lie. Bila kita meninjau ruang singgung dari suatu grup Lie, dan mengumpulkan seluruh medan vektor yang invarian kiri di bundel vektornya, kita dapat memperoleh suatu struktur berupa aljabar Lie. Aljabar Lie simpel merupakan aljabar Lie yang tidak memiliki ideal sejati nontrivial. Menggunakan sistem akar, Killing-Cartan mengklasifikasikan aljabar Lie simpel ini menjadi empat aljabar Lie simpel klasik dan lima yang eksepsional. Dengan kata lain, setiap aljabar Lie simpel haruslah isomorfis dengan salah satu dari sembilan aljabar Lie simpel ini. Oktonion merupakan ruang vektor berdimensi delapan, dan juga salah satu dari empat aljabar bernorm. Dapat dilihat pula bahwa derivasi dari Oktonion yang dinotasikan sebagai Der(O) merupakan aljabar Lie. Pada tugas akhir ini, kita akan melihat bahwa Der(O) merupakan aljabar Lie simpel. Terlebih lagi, kompleksifikasi dari Der(O) isomorfis dengan salah satu aljabar Lie simpel eksepsional, yaitu g2 yang berdimensi 14. Dengan kata lain Der(O) merupakan aljabar Lie tipe G2.