Perpustakaan Digital ITB

Ruang Morrey diperkenalkan oleh C.B. Morrey pada tahun 1938 dalam pembahasan suatu persamaan diferensial parsial eliptik. Ruang Morrey dapat dipandang sebagai perumuman dari ruang Lebesgue. Namun, berbeda dengan ruang Lebesgue yang anggotanya dapat dihampiri oleh fungsi mulus, ruang Morrey tidak bersifat demikian. Pada tahun 1986, C. T. Zorko memberikan contoh fungsi dalam ruang Morrey yang tidak dapat dihampiri oleh fungsi mulus atau bahkan oleh fungsi kontinu. Suatu subruang di ruang Morrey didefinisikan dengan syarat tertentu agar fungsi di dalamnya dapat dihampiri oleh fungsi mulus bertumpuan kompak. Subruang tersebut disebut dengan ruang Zorko yang dapat dinyatakan dalam bentuk {f 2 Lp,!(Rn) : ||f(· + y) ? f(·)|| ! 0 jika |y| ! 0}. Selisih fungsi yang digunakan dalam mendefinisikan ruang Zorko merupakan alat yang cocok untuk mendeskripsikan ruang mulus (smoothness spaces). Beberapa penelitian telah mengungkap hubungan antara ruang mulus dan ruang yang didefinisikan berdasarkan selisih fungsi. Sebagai contoh, ruang Besov sebagai salah satu ruang mulus dapat dikarakterisasi menggunakan selisih fungsi orde satu berbentuk f(· + h) ? f(·) maupun selisih dengan orde yang lebih tinggi dengan eksponen kemulusan (smoothness) yang cukup besar. Konsekuensi penggunaan selisih fungsi berorde lebih tinggi dalam ruang Zorko terhadap sifat aproksimasi oleh fungsi mulus menjadi menarik untuk dikaji. Disertasi ini membahas suatu himpunan semua fungsi f dalam ruang Morrey dan ruang Morrey diperumum dengan sifat kf(· + h) + f(· ? h) ? 2f(·)k ! 0 saat |h|!0. Himpunan baru yang dibentuk ini merupakan hasil modifikasi ruang Zorko dengan menggunakan selisih fungsi berorde dua. Disertasi ini menyajikan hasil penelitian tentang hubungan antara ruang Zorko dan ruang Zorko yang dimodifikasi serta sifat aproksimasi fungsi mulus dalam ruang Zorko yang dimodifikasi. Kaitan antara ruang Zorko dan ruang Zorko yang dimodifikasi diperiksa dan contoh-contoh fungsi yang berkaitan dengan kedua ruang tersebut diberikan. Aproksimasi fungsi dalam ruang Zorko yang dimodifikasi berbentuk konvolusi dengan fungsi mulus bertumpuan kompak. Dengan menggunakan sifat inklusi antara ruang Zorko dan ruang berlian, ruang Zorko yang dimodifikasi identik dengan ruang Zorko, baik dalam ruang Morrey maupun ruang Morrey diperumum.