Perpustakaan Digital ITB

Kategori kluster didefinisikan untuk memodelkan aljabar kluster yang diperkenalkan oleh Fomin-Zelevinski. Teori ini menghubungkan aljabar kluster dengan teori representasi kuiver. Terdapat korespondensi satu-satu antara objek pengalih kluster dari kategori kluster dan variabel kluster dari aljabar kluster. Perumuman dari kategori kluster adalah kategori m-kluster dengan m adalah suatu bilangan asli. Beberapa kategori m-kluster memiliki deskripsi geometri yang baik. Pada kasus graf Dynkin An dengan n adalah suatu bilangan asli, kategori kluster dapat diidentifikasi sebagai poligon beraturan dengan (m(n + 1) + 2) titik. Objek tak terdekomposisi dari m-kategori kluster dapat diartikan sebagai m-diagonal dari poligon beraturan tersebut and objek pengalih m-kluster berkorespondensi dengan himpunan maksimal m-diagonal yang tidak saling berpotongan. Himpunan maksimalm-diagonal ini merupakan suatu (m+2)-angulasi dari poligon beraturan. Endomorfisma dari suatu objek pengalihm-kluster disebut aljabar teralihm-kluster. Representasi kuiver aljabar ini dapat diperoleh dari deskripsi geometri (m + 2)- angulasi. Dalam kasus Dynkin An, mencari objek pengalih m-kluster dan aljabar teralih m-kluster merupakan masalah kombinatorik. Salah satu contoh aljabar non semisederhana adalah aljabar Nakayama. Kelas aljabar ini selalu merupakan aljabar tipe representasi hingga. Aljabar Nakayama lebih mudah dikenali melalui representasi kuivernya. Dengan menggunakan kuiver kita dapat mengelompokkan aljabar Nakayama menjadi dua tipe, yaitu tipe An dan tipe siklis. Pada disertasi ini kita menginvestigasi hubungan antara aljabar teralih m-kluster dan aljabar Nakayama namun kita hanya fokus pada aljabar teralih m-cluster yang merupakan endomorfisma dari objek pengalih m-kluster dari tipe A. Khususnya, kita mengkarakterisasi aljabar teralih m-kluster dari tipe An yang merupakan aljabar Nakayama. Hasil umum yang diperoleh dalam karakterisasi aljabar teralih m-kluster tipe An adalah aljabar ini selalu dibatasi oleh relasi nol atau lintasan panjang dua. Hasil utama dalam disertasi ini adalah karakterisasi dari aljabar teralih m-kluster tipe An yang merupakan aljabar Nakayama untuk tipe siklis dan tipe asiklis. Untuk tipe siklis kita telah memiliki karakterisasi yang lengkap: Aljabar terhubung Nakayama teralih m-kluster hanya ada pada saat m = n - 2 dan selalu dibatasi oleh semua lintasan panjang dua. Untuk tipe asiklis klasifikasinya dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah kasus m < n - 2 dan bagian kedua adalah m < n - 2. Untuk kasus m > n - 2, aljabar terhubung Nakayama teralih m-kluster selalu dibatasi oleh ideal nol atau sembarang koleksi lintasan panjang dua dan untuk kasus m = n - 2, aljabar terhubung Nakayama teralih m-kluster dibatasi oleh ideal nol atau sembarang koleksi lintasan panjang dua yang berbeda dengan koleksi semua lintasan panjang dua. Bagian terakhir untuk kasusm < n2, aljabar ini selalu dapat ditemukan jika aljabarnya dibatasi oleh ideal yang dibangun oleh paling banyak m relasi lintasan panjang dua.