Misalkan G = (V;E) adalah graf sederhana, berhingga dan terhubung. Suatu
himpunan D V disebut himpunan dominasi dari G jika untuk setiap titik
v 2 V ????D bertetangga dengan suatu titik di D. Kardinalitas terkecil dari himpunan
dominasi di G disebut bilangan dominasi dari G. Selanjutnya, representasi suatu
titik v 2 V (G) terhadap himpunan R V dinyatakan sebagai vektor jarak titik v
tersebut terhadap R. Himpunan R dinamakan himpunan pembeda dari G jika setiap
titik di G memiliki representasi yang berbeda terhadap R. Kardinalitas terkecil dari
himpunan pembeda di G disebut dimensi metrik. Lebih lanjut, suatu himpunan
dominasi yang merupakan himpunan pembeda di G disebut himpunan dominasilokasi-
metrik dari G. Kardinalitas terkecil dari himpunan dominasi-lokasi-metrik
di G disebut bilangan dominasi-lokasi-metrik dari G.
Konsep bilangan dominasi-lokasi-metrik suatu graf terhubung diperkenalkan
pertama kali oleh Brigham dkk. (2003). Konsep ini merupakan gabungan konsep
bilangan dominasi dan dimensi metrik. Gabungan konsep ini merupakan kajian
untuk mencari suatu himpunan yang merupakan himpunan dominasi dan juga
merupakan himpunan pembeda.
Brigham dkk. (2003) telah dapat menunjukkan hubungan antara bilangan dominasi
(G), dimensi metrik (G), dan bilangan dominasi-lokasi-metrik
M(G), yaitu
maxf
(G); (G)g
M(G) minf
(G) + (G); n ???? 1g. Hasil ini sekaligus
memberikan batas bawah dan batas atas dari bilangan dominasi-lokasi-metrik suatu
graf.
Meskipun telah diketahui batas bawah dan batas atas bilangan dominasi-lokasimetrik
sebarang graf, namun penentuan bilangan dominasi-lokasi-metrik suatu graf
adalah suatu permasalahan yang sulit. Hal ini disebabkan oleh beragamnya struktur
graf. Oleh karena, itu kajian bilangan dominasi-lokasi-metrik dilakukan dengan
membatasi pada keluarga graf tertentu atau dengan mengkarakterisasi graf dengan
bilangan dominasi-lokasi-metrik tertentu. Sampai saat ini, telah dikarakterisasi
semua graf berorde n yang mempunyai bilangan dominasi-lokasi-metrik 1, n ???? 2, dan n ???? 1.
Penentuan himpunan dominasi-lokasi-metrik suatu graf tidak bisa terlepas dari
pencarian himpunan dominasi dan himpunan pembeda suatu graf. Pada suatu graf,
jika suatu himpunan pembeda termuat pada suatu himpunan dominasi minimumnya
maka himpunan dominasi minimum tersebut dapat bertindak sebagai himpunan
pembedanya. Sebaliknya, jika suatu himpunan dominasi termuat pada suatu
himpunan pembeda minimum maka himpunan pembeda minimum tersebut dapat
bertindak sebagai himpunan dominasinya. Dengan demikian, untuk graf dengan
kondisi ini, dapat dirumuskan bilangan dominasi-lokasi-metrik dari G adalah sama
dengan batas bawah, yaitu
M(G) = maxf
(G); (G)g. Sedangkan jika setiap
himpunan dominasi minimum dan setiap himpunan pembeda minimum saling lepas
maka bilangan dominasi-lokasi-metrik suatu graf G mencapai batas atas yaitu
M(G) = minf
(G) + (G); n ???? 1g.
Pada disertasi ini dilakukan kajian tentang graf dengan bilangan dominasi-lokasimetrik
berada pada batas bawah atau pada batas atas. Selain itu, secara khusus
ditentukan bilangan dominasi-lokasi-metrik dari graf k-lintasan, graf hasil operasi
korona, dan pohon. Lebih lanjut, juga ditentukan syarat cukup dan syarat perlu dari
graf hasil operasi korona dan pohon dengan bilangan dominasi-lokasi-metriknya
mencapai batas bawah atau mencapai batas atas.
Selain itu, pada disertasi ini dilakukan karakterisasi graf dengan bilangan dominasilokasi-
metrik kecil. Pada bagian ini dilakukan karakterisasi graf dengan bilangan
dominasi-lokasi-metrik 2, karakterisasi pohon dengan bilangan dominasi-lokasimetrik
3 dan karakterisasi graf unisiklik dengan bilangan dominasi-lokasi-metrik
3.
Pada disertasi ini juga dikaji graf dengan bilangan dominasi-lokasi-metrik setengah
dari ordenya. Sebagaimana diketahui kondisi antara himpunan pembeda dan
himpunan dominasi suatu graf memberikan pengaruh besar pada penentuan
himpunan dominasi-lokasi-metrik suatu graf. Dalam hal ini kajian difokuskan pada
graf G berorde n pada kelas graf tertentu yang memenuhi
M(G) = 1
2n.