Perpustakaan Digital ITB

Kode linier biner C yang dibangkitkan oleh graf sederhana ? = (V,E) pada n titik adalah kode linier dengan matriks pembangkit [In|A] dengan In matriks identitas berukuran n dan A matriks ketetanggaan dari graf ?. Jarak minimum kode C dapat dicari dengan menggunakan fungsi von yang memetakan himpunan S berisikan titik-titik pada graf ? ke himpunan von(S) yang berisikan titik-titik dengan tetangga yang banyaknya ganjil di S. Kami memperluas hasil dari Mallik dan Yildiz [Algebra and Discrete Matematics 32, 49–64 (2021)] dengan meninjau jarak minimum dan swadualitas kode yang dibangkitkan oleh graf dan menjawab tiga masalah terbuka pada artikel Mallik dan Yildiz. Pada bagian pertama Bab IV, kami menunjukkan beberapa sifat dari fungsi von. Pada bagian kedua Bab IV, kami memberikan syarat swadualitas dan sebuah batas atas bagi jarak minimum dari kode linier yang dibangkitkan oleh graf yang didapat dari operasi gabungan saling lepas, hasil kali kartesius, hasil kali lemah, dan hasil kali kuat. Pada bagian pertama Bab V, kami mendefinisikan graf jarak optimal sebagai graf tak kosong yang membangkitkan kode dengan jarak minimum yang sama dengan rk2(A) + 1, dengan rk2(A) adalah 2-rank dari matriks ketetanggaan A dari graf yang dimaksud. Kami menemukan bahwa satu-satunya graf jarak optimal hanyalah graf lengkap pada 3 titik. Pada bagian kedua Bab V, kami memperlihatkan beberapa contoh penyangkal dari dugaan pada artikel Mallik dan Yildiz. Pada bagian ketiga Bab V, kami membahas jarak minimum kode yang dibangkitkan oleh graf reguler kuat dengan mendaftar nilainya untuk jumlah titik yang tidak lebih dari 35.