Perpustakaan Digital ITB

Graf Jacobson dan graf Jacobson n-array atas gelanggang komutatif pertama kali diperkenalkan pada tahun 2013 dan 2018 oleh Azimi dkk. Dalam disertasi ini dibahas generalisasi graf Jacobson tersebut, bentuk genneralisasi pertama dikenal sebagai graf Jacobson matriks. Misalkan R gelanggang komutatif, U(R) grup unit dari R, J(R) radikal Jacobson dari R dan Rm×n himpunan matriks berukuran m × n atas R. Graf Jacobson matriks berukuran m × n atas gelanggang R, dinotasikan dengan J(R)m×n, didefinisikan sebagai graf dengan himpunan titik Rm×n \ (J(R))m×n sedemikian sehingga dua titik berbeda A,B bertetangga jika dan hanya jika 1 ? det(AtB) /? U(R). Bentuk generalisasi kedua yaitu graf Jacobson yang diperluas pada gelanggang non komutatif dengan kasus spesifik pada gelanggang matriks. Tujuan penelitian ini adalah memperkaya sifat graf Jacobson atas gelanggang dengan membahas aspek gelanggang non komutatif dan melengkapi sifat perumuman pada graf Jacobson matriks. Disertasi ini telah berhasil memperumum sifat graf Jacobson tersebut. Pada graf Jacobson matriks telah diperoleh sifat ketetanggaan, diameter, keplanaran, dan kesempurnaan pada pada graf Jacobson matriks atas lapangan, gelanggang lokal dan gelanggang non lokal. Pada graf Jacobson atas gelanggang matriks diperoleh hasil berupa diameter, hubungan antara derajat suatu titik terhadap dimensi ruang kolomnya dan beberapa sifat khusus pada matriks segitiga. Adapun metode penelitian yang digunakan adalah dengan eksplorasi dan adaptasi dari hasil yang telah diperoleh sebelumnya termasuk memanfaatkan sifat-sifat dan struktur operator linear pada ruang vektor berdimensi hingga dan keterkaitan antara modul dengan modul kuosien dari submodulnya.