Untuk sebarang dua ruang bernorma, kita dapat mendefinisikan suatu operator
linear yang memetakan suatu anggota ruang bernorma ke ruang bernorma lainnya.
Khususnya, jika operator ini terbatas, dapat didefinisikan suatu norma operator.
Secara khusus, untuk operator linear terbatas pada ruang Hilbert berdimensi hingga,
juga dapat didefinisikan norma Hilbert-Schmidt yang bergantung basis ruang
Hilbert daerah definisinya. Dalam penelitian ini, akan dikaji hubungan ortogonalitas
isosceles, Pythagoras, dengan Birkhoff antara operator linear terbatas pada ruang
Hilbert berdimensi hingga, baik dalam norma Hilbert-Schmidt dan dalam norma
standar. Dalam norma Hilbert-Schmidt, kita dapatkan bahwa ketiga ortogonalitas
tersebut ekuivalen; lebih lanjut kita juga dapatkan suatu karakterisasi dalam bentuk
hasil kali dalam di ruang Hilbert daerah definisinya. Akan tetapi, dalam norma
standar, ketiga ortogonalitas tersebut mengakibatkan satu sama lain jika dan hanya
jika ruang Hilbert daerah definisinya berdimensi satu. Ketiga ortogonalitas tersebut
dalam norma Hilbert-Schmidt dan dalam norma standar juga mengakibatkan satu
sama lain pada kondisi yang sama.