Perpustakaan Digital ITB

Synthetic differential geometry (Geometri diferensial sintetis, dalam Tugas Akhir ini, akan kita sebut sebagai SDG) adalah sebuah reformulasi geometri diferensial atas dasar sebuah aksioma yang sifatnya sintetis temenyangkut objek geometris serta hubungan antar objek tersebut – sehingga kita dapat melakukan kalkulus dengan elemen infinitesimal nilpoten secara rigorous. Sebagai asumsi dasar, kita misalkan terdapat sebuah objek continuum dasar R yang memenuhi prinsip yang kita sebut sebagai Prinsip Mikroafin, yang mengatakan bahwa sebuah grafik kurva di R dapat dipandang sebagai gabungan dari sekumpulan potongan-potongan garis lurus yang sangat kecil, bersesuaian dengan gambaran klasik dari sebuah continuum – sebuah objek ideal yang memungkinkan perubahan berkesinambungan sejati. Lebih tepatnya, kita mengasumsikan bahwa R memenuhi Aksioma Kock-Lawvere, yang mengatakan bahwa semua fungsi dari domain D = {d ? R : d2 = 0} ke R dapat digambarkan secara unik sebagai sebuah fungsi afin. Karena kita sekarang dapat bekerja dengan elemen infinitesimal secara langsung, kita dimungkinkan untuk melakukan konstruksi rigorous atas objek-objek geometris secara lebih umum dan lebih mengakomodir intuisi geometris yang kita miliki tentang objek tersebut, dengan berargumen menggunakan nilai-nilai infinitesimal. Namun, supaya kita bisa melakukan pengkajian yang berarti atas dasar aksioma ini, kita harus merelakan keberlakukan universal dari Law of Excluded Middle, prinsip logika yang mengatakan bahwa P ?¬P selalu berlaku untuk setiap proposisi P. Sebagai salah satu akibat terpenting, kehilangan hukum ini mengakibatkan kita tidak lagi dapat berargumen bahwa sesuatu itu benar karena tidak mungkin hal tersebut salah. Dalam Tugas Akhir ini kita akan memeriksa apa saja yang kita peroleh dari pengorbanan ini.