Perpustakaan Digital ITB

Struktur aljabar yang merupakan jumlah langsung dari modul-modul siklik merupakan suatu topik yang memiliki peran penting dalam teori aljabar dan aplikasinya. Salah satu hasil penting dalam topik tersebut adalah hasil temuan Gottried Kothe pada tahun 1935. Kothe memperkenalkan suatu gelanggang yang setiap modul atas gelanggang tersebut merupakan jumlah langsung dari modul-modul siklik. Dalam buku ini, dibahas mengenai gelanggang komutatif R yang ideal-idealnya merupakan jumlah langsung dari modul-modul siklik. Pada kasus gelanggang Noether lokal (R;M), pernyataan berikut ekuivalen: (1) Setiep ideal dari R merupakan jumlah langsung dari modul-modul siklik; (2) M = Ln i=1 Rwi dimana paling banyak dua dari suku langsungnya bukan merupakan modul sederhana; (3) Terdapat bilangan n sehingga setiap ideal dari R merupakan jumlah langsung dari paling banyak n modul siklik; dan (4) Setiap ideal dari R merupakan suku langsung dari jumlah langsung modulmodul siklik. Namun apakah hal yang sama berlaku jika tidak semua idealnya merupakan jumlah langsung dari modul-modul siklik?. Pada kasus gelanggang Noether lokal (R;M), pernyataan berikut ekuivalen: (1) Setiep ideal prima dari R merupakan jumlah langsung dari modul-modul siklik; (2) M = Ln i=1 Rwi dan R= Ann(wi) merupakan gelanggang ideal utama untuk setiap 1 i n; (3) Terdapat bilangan n sehingga setiap ideal prima dari R merupakan jumlah langsung dari paling banyak n modul siklik; dan (4) Setiap ideal prima dari R merupakan suku langsung dari jumlah langsung modul-modul siklik.