Perpustakaan Digital ITB

Gelanggang valuasi adalah gelanggang komutatif yang koleksi dari semua idealnya terurut total terhadap relasi inklusi. Ukuran yang merepresentasikan seberapa jauh suatu gelanggang komutatif menyimpang dari sifat valuasi disebut dengan dimensi valuasi. Modul uniserial adalah modul yang koleksi dari semua submodulnya terurut total terhadap relasi inklusi. Ukuran yang merepresentasikan seberapa jauh suatu modul menyimpang dari sifat uniserial disebut dengan dimensi uniserial. Untuk suatu gelanggang R, dimensi uniserial dari R-modul R disebut dimensi valuasi dari gelanggang R. Dengan demikian konsep dimensi valuasi termotivasi oleh konsep dimensi uniserial. Disertasi ini membahas kelas gelanggang Noether komutatif dengan dimensi valuasi berhingga. Pertama, peneliti melakukan karakterisasi kelas gelanggang Noether komutatif dengan dimensi valuasi berhingga. Selanjutnya peneliti mengkaji modul yang dibangun secara berhingga atas gelanggang Noether komutatif dengan dimensi valuasi berhingga, khususnya terkait dengan dimensi uniserial dari modulnya. Perhatikan bahwa dalam melakukan karakterisasi suatu lapangan dapat dilakukan dengan mengkaji modul atas lapangan tersebut, yang tidak lain adalah suatu ruang vektor. Dengan cara sama, untuk menentukan sifat-sifat dari gelanggang Noether/Artin dapat dilakukan dengan mengkaji sifat-sifat dari modul atas gelanggang Noether/Artin. Begitu juga dalam disertasi ini, peneliti mengkaji sifatsifat dari gelanggang Noether komutatif dengan dimensi valuasi berhingga, tetapi melalui pendekatan sifat-sifat dari modul yang dibangun secara hingga atas gelanggang Noether komutatif dengan dimensi valuasi berhingga. Kontribusi utama yang dihasilkan dalam disertasi ini adalah karakterisasi kelas gelanggang Noether komutatif dengan dimensi valuasi berhingga yang dilakukan dengan melakukan pendekatan melalui gelanggang lokal. Khususnya ditunjukkan bahwa suatu gelanggang komutatif Noether R memiliki dimensi valuasi berhingga i jika dan hanya jika R adalah gelanggang valuasi atau Artin. Selanjutnya, peneliti menghasilkan suatu metode untuk menentukan dimensi uniserial suatu modul yang dibangun secara hingga atas daerah valuasi diskrit dengan melakukan pendekatan melalui dekomposisi modul yang dibangun secara hingga atas daerah valuasi diskrit, baik melalui modul torsi dan modul bebas torsi, untuk mengeksplorasi dimensi uniserial dari modulnya. Telah ditunjukkan bahwa dimensi uniserial dari suatu modul adalah suatu fungsi dari pembagi-pembagi elementer modulnya dan rank dari bagian modul non torsinya. Hasil tambahan dalam disertasi ini antara lain mengenai dimensi valuasi suatu daerah ideal utama, yang diperoleh melalui eksplorasi gelanggang faktor dari daerah ideal utama tersebut. Hasil tambahan lainnya adalah suatu kode program Python untuk menghitung dimensi valuasi dan dimensi uniserial dari beberapa gelanggang dan modul