41 Bab V Analisis Sistem Dinamik Mekanisme Chameleon Brans- Dicke Mekanisme chameleon pada model skalar tensor Brans-Dicke telah berhasil menyaring modifikasi gravitasi pada daerah dengan densitas tinggi, sesuai dengan solusi kerak tipis pada mekanisme tersebut yang didapatkan pada bab sebelumnya. Medan skalar terkopel dengan materi sehingga massa medan skalar tersebut tidak konstan dan bergantung pada densitas materi daerah yang ditinjau. Pada daerah dengan densitas materi sangat rendah, medan skalar pada model tersebut kembali dapat berperan sebagai energi gelap yang menyebabkan percepatan alam semesta. Sebagaimana dengan model-model energi gelap pada umumnya, mekanisme tersebut haruslah memenuhi syarat kestabilan agar memvalidasi dirinya sebagai model energi gelap yang stabil, dengan model tersebut selalu menuju suatu kondisi keseimbangan dengan dominasi energi gelap sebagai penyusun alam semesta. Oleh karena itu, pada bab ini dilakukan analisis sistem dinamik untuk meninjau stabilitas mekanisme tersebut. V.1 Persamaan Friedmann Termodifikasi dan Persamaan Autonomous Diketahui aksi Chameleon Brans-Dicke sebagai berikut: 5L±@ 8 T¥FC döì F � »½ �:��; 6 Ft8:�;hEt5 àk# 6 :�;C 
��o
ä:
ä s; Dari variasi aksi terhadap metrik C  dan medan �, serta memilih metrik FLRW, didapatkan persamaan Friedmaan dan persamaan dinamik berikut, u* 6 LF u*�6 � E � »½ tF �6 � G 6 F 8:�; � E #:�;� à �
� :
ä t; t*6Eu* 6 LF t*�6 � F � »½ tF �6 � G 6 F �7 � F 8:�; �
á:
ä u; �7Eu*�6L t uEt� »½ d�8
�%Ft8El#
�%�F # t p� àh
ä:
ä v; dengan � à adalah parameter densitas materi. Fluida materi dianggap sebagai debu tanpa tekanan L àLr. Dalam kosmologi, debu tanpa tekanan adalah pendekatan yang tepat untuk materi non-relativistik, seperti materi gelap dingin dan materi 42 baryonik, pada skala besar. Komponen-komponen ini mendominasi kandungan materi alam semesta pada era saat ini, menjadikan debu tanpa tekanan sebagai model yang relevan untuk mempelajari mekanisme chameleon (Roy dan Banarjee, 2015). Kombinasi dari persamaan (V.2), (V.3), dan (V.4) mendapatkan persamaan kontinuitas termodifikasi berikut, �6 àEu*� àLF u v #
�%�6� à #
á:
ä w; Persamaan keadaan efektif sistem diberikan oleh � ØÙÙLFsF 6 7 Á Á . 6 (Amendola dan Tsujikawa, 2010). Dalam rangka mempelajari dinamika kosmologi sistem, diperkenalkan variabel tak berdimensi berikut: TL �6 *�
áU L s * ¨ 8 u�
áV L s * ¨ � à# u�
á:
ä x; Persamaan (V.2) dapat dinyatakan sebagai suatu kendala berikut, � »½ x T 6 FTFU 6 EV 6 L s:
ä y; Didefinisikan pula parameter densitas energi gelap dan materi, 3 %L � »½ x T 6 FTFU 6
â3 àLsF3 %:
ä z; Dari persamaan (V.3) dan (V.4) didapatkan, *6 * 6 LF T t F � »½T 6 vEul3F s t pU 6 E u3V 6 vF 3 t* 6 k8
�%E#
�%� àoF u t :
ä {; �7LFu*�6Fx3U 6 * 6 �F u3 6 V 6 * 6 � t E3�k8
�%E#
�%� ào:
ä sr; dengan 3L 6 7>6 ³µ
� Selanjutnya didiferensialkan setiap variabel pada persamaan (V.6) terhadap bilangan A F BKH@EJCO 0  Ž�= diperoleh persamaan autonomous, @T @0 L � »½T 7 vF uT 6 tF uT t Fx3U 6 E u3V 6 tE uTU 6 tF u3TU 6 F u3TV 6 v E u�3TU 6 t Eu�3U 6 E u�3TV 6 tEu�3V 6
á:
ä ss; @U @0 LFu3U 7 E uU 7 tE uU t F TU t E � »½T 6 U vF u3UV 6 vE �TU t E u�3U 7 t E u�3UV 6 t
� :
ä st; 43 @V @0 LF u3V 7 vFTVE � »½T 6 V vE uU 6 V tFu3U 6 VE u�3U 6 V t E �TV z E u�3V 7 t
� :
ä su; dengan CL % Ï ×Ï ×% dan �L % º ׺ ×% . Dengan mengatur ×ë ×Ç L ×ì ×Ç L ×í ×Ç Lr akan didapatkan titik kritis. Karakterisitik dari masing-masing titik kritis dapat diketahui melalui nilai eigen matriks yang dibentuk dari perturbasi linier di sekitar titik kritis dan atau dari plot ruang fasenya. V.2 Stabilitas Titik Kritis Sistem =QPKJKIKQO adalah sistem dinamik yang memegang peran penting dalam kosmologi (Copeland dkk., 2006). Sebagai contoh sederhana, diperkenalkan sistem dari tiga persamaan diferensial orde pertama. Kita tentukan persamaan diferensial untuk tiga variabel T:P;, U:P; dan V:P;, @T @P LB:T
á U
á V
á P;
� @U @P LC:T
�U
�V
�P;
� @V @P LD:T
�U
�V
�P;
á:
ä sv; dengan B, C dan D adalah fungsi dari T, U, V dan P. Sistem di atas disebut autonomous jika B, C dan D tidak mengandung suku yang bergantung waktu secara eksplisit. Dinamika sistem autonomous dapat dianalisis dengan cara mencari titik kritis sistem dan melihat stabilitas di sekitar titik tersebut (Percival dan Richards, 1999; Copeland dkk., 2006). Titik :T Ö
�U Ö
�V Ö; adalah titik kritis dari sistem autonomous jika memenuhi, :B
á C
á D;
:ë Î
��Î
��Î;L r
ä:
ä sw; Titik kritis :T Ö
�U Ö
�V Ö; disebut titik =PPN=?PKN jika memenuhi kondisi, :T:P;
�U:P;
�V:P;;\:T Ö
�U Ö
�V Ö;QJPQGP \ »
ä:
ä sx; Kita dapat mengetahui apakah sistem mendekati salah satu titik kritis atau tidak dengan melihat stabilitas di sekitar titik kritis tersebut. Kita tentukan perturbasi kecil �T, �U dan �V di sekitar titik kritis :T
�U
�V; yang dapat dituliskan, TLT ÖEÜT
áULU ÖE ÜU
áV L V ÖE ÜV
á:
ä sy; turunkan masing-masing terhadap P maka didapatkan, @T @P LB:T
á U
á V;L @T Ö @P  @4 E @ @P ÜT
á:
ä sz; 44 B:T
á U
á V;L @ @P ÜT
ä:
ä s{; Jika B:T
�U
�V; diekspansikan maka didapatkan, B:T
�U
�V;LB:T Ö
�U Ö
�V Ö;� ������ @4 E �B �T , ëÎ
��Î
��Î :TFT Ö;����� ”v E �B �U , ëÎ
��Î
��Î :UFU Ö;����� ”w E �B �V , ëÎ
��Î
��Î :VFV Ö;����� ”x
� :
ä tr; sehingga didapatkan persamaan, @ @P ÜT L �B �T , ëÎ
��Î
��Î ÜT E �B �U , ëÎ
��Î
��Î ÜU E �B �V , ëÎ
��Î
��Î ÜV
ä:
ä ts; Dengan cara yang sama didapatkan persamaan untuk U dan V yaitu, @ @P ÜU L �C �T , ëÎ
��Î
��Î ÜT E �C �U , ëÎ
��Î
��Î ÜU E �C �V , ëÎ
��Î
���V
� :
ä tt; @ @P ÜV L �D �T , ëÎ
��Î
��Î ÜT E �D �U , ëÎ
��Î
��Î ÜU E �D �V , ëÎ
��Î
��Î ÜV
ä:
ä tu; Persamaan (V.21), (V.22) dan (V.23) dapat ditulis dalam bentuk: @ @P m �T �U �V qL/m �T �U �V q
á:
ä tv; dengan / adalah matriks 3x3 yang diberikan oleh, /L � � � � � �B �T �B �U�B �V �C �T �C �U �C �V �D �T�D �U�D �V� � � � � :ë@ëÎ
áì@ìÎ
áí@íÎ;
á:
ä tw; Stabilitas titik kritis ditentukan oleh bagian riil dari nilai eigen. Berdasarkan tanda bagian riil tersebut: 1) Stabil, jika seluruh nilai eigennya riil dan negatif. 2) Tidak stabil, jika seluruh nilai eigennya riil dan positif. 3) Titik pelana, jika pada bagian riil nilai eigennya terdapat gabungan nilai positif dan negatif. 4) Stabil spiral, jika bagian riil nilai eigennya negatif dan beberapa bagian imajinernya tidak nol. 5) Tidak stabil spiral, jika bagian riil nilai eigennya positif dan beberapa bagian imajinernya tidak nol (Copeland dkk., 2006; Coley, 2003; Wainwright dan Ellis, 1997). 45 V.2.1 Kasus 8:�;L Æ 06Ù % Ù dan #:�;LA %Æ Û× Dengan memilih potensial 8:�;L Æ 06Ù % Ù maka didapatkan CLFJdan dengan fungsi kopling materi #:�;LA %Æ Û× didapatkan ß L % Æ Û×
� Dengan asumsi bahwa �'/ ãß sehingga �Nr, maka persamaan autonomous tereduksi menjadi, @T @0 L � »½T 7 vF uT 6 tF uT t Fu:JEt;3U 6 F u3V 6 t Fud@ J t EsA3F s t hTU 6 F u3TV 6 v
á:
ä tx; @U @0 LFud@ J t EsA3F s t hU 7 E uU t F TU t E � »½T 6 U vF@ J t EsATU F u3UV 6 v
� :
ä ty; @V @0 LF u3V 7 vE � »½T 6 V vE uU 6 V tFud@ J t EsA3F s t hU 6 V F TV
á:
ä tz; Dengan persamaan keadaan efektif, � ØÙÙLFsF t u HF T t F � »½T 6 vEul3F s t pU 6 E u3V 6 vE u3JU 6 tF u t I:
ä t{; Dengan mengatur ×ë ×Ç L ×ì ×Ç L ×í ×Ç Lr didapatkan titik kritis yang bergantung pada Jdan � »½, dapat dilihat pada Tabel V.1. Tabel V.1 Titik kritis dari persamaan autonomous yang bergantung pada J dan � »½. Titik T U V P1 r r r P2 u J F # 5 % 5 F $ 5 % 5 P3 u J F # 5 % 5 $ 5 % 5 P4 u J # 5 % 5 F $ 5 % 5 46 P5 u J # 5 % 5 $ 5 % 5 P6 x tJEs F& 5 r P7 x tJEs & 5 r P8 s sE� »½ r F' 5 P9 s sE� »½ r ' 5 P10 t:JEt; sFJEt� »½ F( 5 r P11 t:JEt; sFJEt� »½ ( 5 r P12 uF�u¥uEt� »½ � »½ r r P13 uE�u¥uEt� »½ � »½ r r # 5 L¥FuEJFu� »½ $ 5 L¥uFyJFtJ 6 Ex� »½ % 5 L�t J & 5 L §u:JFs;:� »½Eu;E s tJEs >uxFszJ:JEs;E:yzFstJFstJ 6 Eux� »½;� »½. ¥FuFuJExJ 6 Fx� »½FstJ� »½ ' 5 L § s � »½Es :stEsy� »½Ex� »½ 6 ; ¥FxFx� »½ ( 5 L §u:JFs;:t� »½Eu;E JEt sFJEt� »½ >stFxJ:JEs;E:txFvJFvJ 6 Est� »½;� »½. ¥Fu:JEs;ExJ 6 Fx:tJEs;� »½ Untuk mendapatkan nilai eigen dari setiap titik kritis, kita memerlukan bentuk eksplisit dari potensial 8:�;. Pemilihan potensial dalam model energi gelap sangat penting karena secara langsung mempengaruhi dinamika medan skalar yang bertanggung jawab atas percepatan ekspansi alam semesta. Salah satu kondisi penting yang harus dipenuhi adalah kondisi slow-roll (Tsujikawa dan Amendola, 2010). Kondisi slow-roll lebih mudah dipenuhi dengan nilai J yang kecil. Sebagai 47 langkah awal, kita memilih JLt. Kita dapat mengklasifikasikan stabilitas suatu titik kritis berdasarkan batasan pada nilai parameter � »½. Nilai eigen dari setiap titik kritis dapat dilihat di Tabel V.2 Tabel V.2 Nilai eigen titik kritis untuk JLt. Titik � 5 � 6 � 7 P1 F u t u t r P2, P3, P4, P5 u v FtyFsz� »½F) 5 z:uEt� »½; FtyFsz� »½E) 5 z:uEt� »½; P6, P7 F u sr u:* 5F+ 5; w:uEt� »½;¥t� »½Fs u:* 5E+ 5; w:uEt� »½;¥t� »½Fs P8, P9 u� »½Es t:� »½Es; , 5F- 5 tv:� »½Es; 7 , 5E- 5 ztv P10, P11 F x� »½Fs{ t:t� »½Fs; . 5E/ 5 st:t� »½Fs; 7 . 5F/ 5 st:t� »½Fs; 7 P12 :0 5 Fu;:0 5Es; v� »½ F u:FuF� »½E0 5; t� »½ x� »½E0 5Fu t� »½ P13 :0 5Eu;:0 5Fs; v� »½ F uFx� »½E0 5 t� »½ u:t� »½E0 5Eu; t� »½ ) 5 L�u§tzz� »½ 7 Etyx� »½ 6 Fstrv� »½Ftsu * 5 LFx¥t� »½FsFv� »½¥t� »½Fs + 5 L§vz� »½ 8 Fxv� »½ 7 Esx:t� »½Fs;� »½ 6 Fvtv� »½ 6 Evz:t� »½Fs;� »½Fs{t� »½Eux:t� »½Fs;Etry , 5 LFsz:� »½Es;Fux� »½:� »½Eu;Fsz:� »½Es; - 5 Lu§utv� »½ : Etuyx� »½ 9 Eysxv� »½ 8 Essuyx� »½ 7 Esrrvv� »½ 6 Evxzr� »½E{rr . 5 L:Fsvv� »½ 6 Evut� »½Fszr;:t� »½Fs; / 5 L§svyvwx� »½ 8 Ft{v{st� »½ 7 Ettsszv� »½ 6 Fyuytz� »½E{tsx 0 5 L�u¥t� »½Eu Berdasarkan nilai eigen, kita dapat menentukan karakteristik setiap titik kritis berdasarkan batasan parameter � »½. Titik P1 akan selalu menjadi titik pelana 48 karena tidak bergantung pada parameter � »½, terlepas dari pilihan nilai konstan Jdan �. Titik-titik P2, P3, P4, dan P5 akan menjadi titik pelana untuk � »½P 5 8< kw{ E {�wyo. Titik-titik P6 dan P7 akan selalu menjadi titik pelana dengan syarat � »½P 67 : . Titik-titik P8 dan P9 akan selalu menjadi titik pelana ketika � »½PFs. Titik-titik P10 dan P11 akan stabil dengan syarat � »½P 67 : dan akan menjadi titik pelana untuk � »½O 67 : . Titik-titik P12 dan P13 akan selalu tidak stabil ketika � »½Pr dan tidak akan pernah stabil. Hanya ada satu kondisi yang memungkinkan adanya titik kritis yang stabil yang bergantung pada nilai parameter BD. Oleh karena itu, untuk menilai stabilitas mekanisme, kita memperkenalkan � »½ � sebagai nilai ambang parameter BD. Kita akan meninjau dengan fokus pada batasan parameter BD untuk � »½Pñ »½ �, dengan � »½ �L 67 : untuk kasus spesifik yang telah kita pilih.