30 Bab IV Solusi Kerak Tipis Mekanisme Chameleon Brans-Dicke Mekanisme O?NAAJEJC menjadi faktor penting dalam teori gravitasi yang mengalami modifikasi. Mekanisme ini berfungsi untuk menekan atau menyaring dampak gravitasi yang telah dimodifikasi di lingkungan dengan prediksi gravitasi standar yang sudah terbukti. Fungsi O?NAAJEJC ini memastikan agar teori tetap konsisten dengan uji gravitasi lokal (seperti yang dilakukan di tata surya kita) sambil tetap menghasilkan efek percepatan pengembangan alam semesta pada skala kosmik. Mekanisme ini memungkinkan teori gravitasi yang dimodifikasi dapat menghindari deteksi di wilayah lokal, sehingga memastikan kesesuaian dengan uji eksperimental yang dilakukan di sekitar lingkungan kita. Dasar dari mekanisme O?NAAJEJC ini terletak pada usaha untuk menyelaraskan observasi kosmologis dengan teori gravitasi yang dimodifikasi, khususnya percepatan pengembangan alam semesta. Dalam bab ini, akan diulas mengenai mekanisme chameleon pada model skalar tensor Brans-Dicke yang merupakan pengembangan dari mekanisme chameleon standar. IV.1 Teori Skalar-Tensor Brans-Dicke Aksi model skalar-tensor BD diberikan oleh (Brans dan Dicke, 1961; Quiros, 2016)), 5L±@ 8 T¥FC döì F � »½ �:��; 6 Ft8:�;hEt5 àk# 6 :�;C ��oá:ä s; dengan � adalah skalar Ricci, :��; 6 LC � �� �, 8:�; adalah potensial medan skalar, dan � »½ parameter kopling BD tak-berdimensi. Metrik C menjadi metrik dalam kerangka Jordan dalam aksi model skalar tensor BD dengan Cä L # 6 :�;C menjadi metrik dalam kerangka Einstein. Fungsi #:�; adalah suatu fungsi medan skalar yang berkaitan dengan transformasi dari kerangka Einstein ke kerangka Jordan. Persamaan gerak medan skalar didapatkan dengan melakukan variasi terhadap aksi terhadap medan �. Dengan Ü5 L r, didapatkan persamaan gerak medan �, �EtS »½ � 6 � � F� »½l �� � p 6 Ft8 �%Ft# �%é L rä:ä t; 31 Variasi aksi terhadap metrik C menghasilkan persamaan, ) L� F s t C � L ñ »½H � � � � � � F s t C l �� � p 6 IFC 8 � E s � k� � �FC � 6 �oE 6 �ä:ä u; Kontraksikan persamaan (IV.3) dengan C didapatkan, �L� »½l �� � p 6 E v8 � Eu � 6 � �F 6 � ä:ä v; Substitusikan persamaan (IV.4) ke persamaan (IV.2) dan mengambil komponen (00) menghasilkan persamaan gerak medan, � 6 �L t uEt� »½ d�8 �%Ft8El# �%�F # t p�hä:ä w; Kita dapat menuliskan persamaan (IV.5) dalam bentuk potensial efektif berikut, � 6 �L8 ����%á:ä x; dengan, 8 ����%L t uEt� »½ d�8 �%Ft8El# �%�F # t p�hä:ä y; Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (IV.7), didapatkan potensial efektif berikut, 8 ØÙÙL t uEt� »½ dö8 F u±8@ö El#ö F u t ±#@öp�hä:ä z; Sebagaimana yang dilakukan pada mekanisme chameleon standar, kita dapat membuat kondisi dengan gaya akibat medan skalar tersembunyi pada daerah berdensitas tinggi. Selanjutnya dipilih potensial 8:�; adalah potensial Ratra- Peebels dan kopling materi #:�; seperti dalam model chamelon standar (Joyce, 2015), 8:�;L / 8>á � á á:ä {; dan #:�;LA % Æ Û× á:ä srƒ; 32 dengan / adalah konstanta massa, J adalah konstanta positif, � adalah konstanta kopling, dan / ãß massa Planck. Berdasarkan eksperimen gravitasi kosmologis dan lokal menetapkan bahwa % Æ Û× 's, setidaknya sejak saat terjadinya Nukleosintesis Big Bang (Big Bang Nucleosynthesis, BBN) (Brax dkk., 2010). Oleh karena itu, dalam sebagian besar aplikasi model ini, kita dapat, tanpa kehilangan generalitas, menetapkan, #:�;NsE �� / ãß ä:ä sr„; Potensial efektif kemudian didapatkan, 8 ����%L t uEt� »½ HF:J E t; / 8>á � á EF �� / ãß F s t G�Iä:ä ss; Gambar IV.1 Potensial efektif merupakan gabungan dari potensial 8:ö; L sö 6 dan kopling materi 5 6 ö:ö F s;é. �Ls pada plot sebelah kiri dan �Lu pada plot sebelah kanan. Medan skalar minimum � àÜá pada potensial efektif diperoleh pada kondisi, 8 ����%L rä:ä st; Massa efektif medan skalar diberikan oleh turunan kedua dari potensial efektif. Untuk fluktuasi kecil di nilai minimum � àÜá, didapatkan, I ØÙÙ 6L t uEt� »½ HJ:J E t;F / 8>á � àÜá á>5 GE �� / ãß Iä:ä su; Pada Gambar IV.1 disajikan plot potensial efektif yang merupakan kombinasi dari potensial 8:�; dan potensial kopling materi #:�;. Kita mengambil nilai konstan yang sederhana sebagai langkah awal untuk menunjukkan pengaruh perubahan 33 densitas terhadap potensial efektif medan skalar. Plot di sebelah kiri untuk densitas �Ls dan plot di sebelah kanan untuk densitas �Lu. Dengan membandingkan kedua plot tersebut, terlihat bahwa ketika densitas materi diperbesar maka nilai minimum medan skalar pada potensial efektif menjadi lebih kecil. Berdasarkan persamaan (IV.13), nilai minimum medan skalar yang kecil akan memberikan massa efektif medan skalar yang besar. Pergeseran nilai minimum medan skalar tersebut ketika terjadi perubahan densitas materi menunjukkan bahwa ketika densitas materi membesar maka akan memberikan massa efektif semakin besar pula dan pada saat itu medan skalar dapat berperan sebagai mekanisme O?NAAJEJC. IV.2 Solusi Bola Persamaan Medan: Model Skalar Tensor Brans-Dicke Kita akan mencari solusi persamaan medan di dalam dan di luar suatu objek kompak berjari-jari 4 berbentuk bola dan densitas homogen � Ö yang berada dalam latar belakang dengan densitas homogen � Õ. Sebagai contoh, sebuah bola kecil di atmosfer, dengan � ÕL� Ôçà, atau sebuah planet dengan � Õ adalah rata-rata densitas materi di alam semesta/tata surya. Untuk kasus latar belakang statis dan bersimetri bola, persamaan gerak (IV.5) tereduksi menjadi, @ 6 � @N 6 E t N @ö @N L t uEt� »½ d�8 �%Ft8El# �%�F # t p�:N;há:ä sv; dengan , �:N;L\ � Öâ N O 4á � Õâ N P 4ä :ä sw; Indeks . digunakan untuk merujuk pada objek kompak yang ditinjau dan indeks > digunakan ketika kita merujuk kuantitas di latar belakang. Medan � Ö adalah nilai minimum dari potensial efektif di dalam objek saat �L� Ö, medan � Õ adalah nilai minimum di latar belakang saat �L� Õ, dan I Ö:I Õ; adalah massa dari fluktuasi kecil medan skalar di sekitar � Ö:� Õ;. Selanjutnya diajukan syarat batas berikut, @ö @N å@4L rá:ä sx; @ö @N å@¶L rá:ä sy; �:N\�;L� Õä:ä sz; 34 Kondisi pertama berdasarkan simetri di sekitar NLr, dan kondisi lainnya mengikuti persyaratan fisis bahwa gaya-�, yang merupakan representasi dari gaya kelima, antara objek kompak dan partikel uji menghilang ketika jarak antara keduanya menuju tak hingga. Solusi persamaan (IV.14) akan dicari dengan mengikuti skema yang dilakukan pada mekanisme chameleon standar. Berdasarkan persamaan (IV.15), di dalam bola NO 4, pada persamaan (IV.14) berlaku �N� Ö, sedangkan di luar bola :N P 4;, berlaku �N� Õ. Untuk mendapatkan solusi aproksimasi persamaan (IV.14), diasumsikan bahwa di luar bola, suku 8 ����% dapat diaproksimasi sebagai potensial harmonik dengan mengekspansikan 8 ����% dalam deret Taylor di sekitar � Õ, @ 6 � @N 6 E t N @ö @N L8 ����%� @ 6 � @N 6 E t N @ö @N L8 ����%:� Õ; ������� @4 E:�F� Õ;8 ����%%:� Õ; ��������� @à Í . E :ö F ö Õ; 6 t 8 ����%%%:� Õ; ����������������� ×ÜÔÕÔÜÞÔá E� Sehingga untuk NP4, @ 6 � @N 6 E t N @ö @N LI Õ 6:�F� Õ;ä:ä s{; Solusi umum persamaan (IV.19) adalah, �:N;L# A . à Í :å. Ë; N E$ A à Í :å. Ë; NE� Õá:ä tr; dengan # dan $ adalah konstanta tak berdimensi. Mengingat bahwa syarat batas �\� Õ untuk N\� memberikan $Lr, sehingga persamaan (IV.20) menjadi, �:N;L# A . à Í :å. Ë; N E� Õä:ä ts; Untuk NO4, kita akan melihat dua solusi berdasarkan dua aproksimasi pada persamaan (IV.14). Didefinisikan 4 Ö membagi interval >rá 4 Ö. ketika ��� Ö, dan >4 Ö�4. ketika �(� Ö Kita akan mendapatkan solusi dari persamaan di setiap interval dengan dua aproksimasi. Aproksimasi pertama ketika �(� Ö dengan aproksimasi harmonik 8 ����% tidak lagi berlaku. Jika kita perhatikan pada gambar IV.I, dapat dilihat bahwa untuk �P 35 � kgl, potensial 8 akan meluruh dengan cepat dan suku yang mengandung � mendominasi. Sehingga dengan asumsi �'/ ãß didapatkan, 8 ����%N3F �� / ãß F s t G� Ö� :ä tt; dengan 3L 6 7> ³µ . Persamaan (IV.14) menjadi @ 6 � @ö 6 E t N @ö @N N3F �� / ãß F s t G� Öá:ä tu; dengan solusi umum, �:N;L % N A ?¨ Ê Î Æ Û×å E & tN ¨ / ãß 3�� ÖA ¨ Ê Î Æ Û×å E / ãß t�á:ä tv; dengan % dan & adalah konstanta tak berdimensi. Aproksimasi kedua ketika ��� Ö. Di sini dapat digunakan aproksimasi harmonik, 8 ����%NI Ö 6:�F� Ö;á:ä tw; dengan solusi umum, �:N;L' A . àÎå N E( A àÎ:å. Ë Î; NE� Ö� :ä tx; dengan ' dan ( adalah konstanta tak berdimensi. Selanjutnya kita akan mencari solusi medan untuk objek kompak besar.