42 Penurunan Faktor Penskalaan Sistem Poros-rotor III.1 Pemilihan Faktor Penskalaan Primer dan Sekunder Perilaku dinamik dari mesin rotasi merupakan parameter penting pada proses perancangan mesin tersebut. Perilaku dinamik ini digambarkan dengan grafik FRF. Grafik FRF dipengaruhi oleh tiga parameter yaitu frekuensi pribadi (� á), modus getar, dan rasio redaman (ζ). Oleh karena itu, faktor penskalaan yang dijadikan sebagai objek pengamatan pada penelitian ini adalah ketiga parameter tersebut. Parameter frekuensi pribadi merupakan fungsi kecepatan putar, sehingga parameter baru berupa kecepatan putar kritis perlu ditambahkan pada pengamatan. Selain itu, sebagai representasi perilaku dinamik, parameter puncak FRF juga diamati. Perilaku dinamik dari mesin rotasi dapat dikategorikan sebagai parameter sekunder dalam penskalaan, sedangkan parameter primer yang dipilih adalah parameter dimensi geometri. Berdasarkan batasan masalah, pada penelitian ini telah ditentukan parameter primer berupa dimensi geometri mesin rotasi dengan skala 1:1, 2:1, dan 3:1. Dimensi geometri ini dipilih untuk memperoleh tiga buah data minimal yang diperlukan pada saat validasi dengan pengujian. III.2 Penskalaan Frekuensi Pribadi Penskalaan pada poros-rotor dengan metode STAGE akan dijelaskan sebagai berikut. Mula-mula, penskalaan dilakukan dengan menentukan parameter primer (masukan) dan sekunder (keluaran) dalam sistem poros-rotor. Parameter primernya adalah dimensi geometri yaitu panjang (P), lebar (L), dan tinggi (T), sedangkan parameter sekundernya adalah frekuensi pribadi (� á), rasio redaman (ζ), kecepatan kritis (� Ö å), dan tinggi puncak FRF. Untuk mendapatkan nilai faktor penskalaan tersebut dilakukan dengan membangun persamaan gerak dari sistem poros-rotor terlebih dahulu. Hal ini merupakan ciri khusus dari metode STAGE sebagaimana dijelaskan di bagian II.10 pada Bab II. Gambar III.1 menunjukkan model poros- rotor yang akan diskalakan di penelitian ini. Model poros-rotor terdiri dari satu poros dan disk dengan dua bantalan dan dudukan bantalan. Dimensi dari poros- rotor ini akan dijelaskan pada Bab IV. 43 Gambar III.1 Model poros-rotor untuk memperoleh faktor penskalaan frekuensi pribadi dan tinggi puncak FRF Persamaan gerak poros-rotor dengan konfigurasi seperti pada Gambar III.1 telah dijelaskan pada Bab II di Persamaan (II.27). Persamaan (II.27) tersebut kemudian diekspresikan dalam sistem satu derajat kebebasan pada arah M dengan mengabaikan faktor giroskopik menjadi persamaan berikut: IM7EtIζ� áM6EIñ á 6M L B:P; (III.1) di mana m adalah massa, ζ adalah rasio redaman, � á adalah frekuensi pribadi dalam rad/s, dan B:P; adalah gaya eksitasi. Notasi q mewakili perpindahan arah translasi dan rotasi. Persamaan (III.1) dapat ditulis ulang dengan menggunakan notasi � yang merepresentasikan dimensi geometri panjang, lebar dan tinggi (P, L, T). Dalam proses penskalaan, dimensi (�) adalah representasi dari simpangan. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut: I @ 6 � @P 6 EtIζ� á @ß @P EIñ � 6�LB:P; (III.2) Persamaan (III. 2) dapat dijadikan sebagai dasar dalam melakukan penurunan faktor penskalaan. Faktor penskalaan dari parameter-parameter primer maupun sekunder ditentukan terlebih dahulu. Notasi O digunakan untuk menunjukkan model skala yang diperkecil (scale), sedangkan notasi B untuk prototipe skala penuh (full-scale). Faktor penskalaan dari parameter-parameter tersebut adalah sebagai berikut: Disk Bantalan Poros Bantalan 44 � L Ñ Þ ; faktor penskalaan dimensi (panjang, lebar, tinggi) � àL à Ñ à Þ ; faktor penskalaan massa � çL ç Ñ ç Þ ; fakor penskalaan waktu � ζL ζ Ñ ζ Þ ; faktor penskalaan rasio redaman � ÙL Ù Ñ Ù Þ ; faktor penskalaan gaya eksitasi � áL Ù Ñ Ù Þ ; faktor penskalaan frekuensi pribadi Dengan notasi s yang ditambahkan ke dalam Persamaan (III.2) diperoleh persamaan baru sebagai berikut: I æ :@ 6 �; æ :@P 6; æ EtI æ ζ æ ñ á æ :@ß; æ :@P; æ EI æ :� � 6 ; æ ß æ LB:P; æ . (III.3) Faktor penskalaan yang telah ditentukan kemudian disubstitusi ke dalam Persamaan (III.3). Selanjutnya, persamaan baru diperoleh dengan notasi B sebagai berikut: F � ç 6 � àã GI Ù :@ 6 �; Ù :@P 6; Ù EF � ç � � � ã ζã á GtI Ù ζ Ù ñ á Ù :@ß; Ù :@P; Ù EF s � àã á 6ã GI Ù :� � 6 ; Ù � Ù L s � � � ç B:P; Ù ä (III.4) Dengan menerapkan hukum penskalaan yang menyatakan bahwa nilai � harus sama (unity) antara prototipe skala penuh dengan model skala yang diperkecil maka masing-masing komponen faktor penskalaan menjadi sebagai berikut: F � ç 6ã Ù � àã GLF � çã Ù � � � � ζ � á GL k� Ùo � àã á 6 � Lsä (III.5) 45 Persamaan (III.5) dapat dipisah menjadi enam persamaan sebagai berikut: � � � L� ç 6ã � � ã àã ã ζã áLã çã Ùá � àã á 6� L� Ùá � àã � çã ÙL� ç 6ã Ùã àã ã ζã á , � àã ã ÙL� � � á 6 ã ã ç 6 ã Ù , � àã ã ζã áã ÙL� àã á 6� ã çã Ù . (III.6) Dengan asumsi faktor penskalaan massa adalah � à = � à, maka Persamaan (III.6) dapat diselesaikan menjadi: � ÙL� 8� á 6 , � çL 5 � , � ζLs . (III.7) Persamaan (III.7) belum dapat diselesaikan, sehingga memerlukan satu asumsi tambahan yaitu waktu (P). Hal ini sebagaimana disebutkan dalam teori penskalaan oleh Baker (1991) bahwa ada tiga parameter primer yang bisa dijadikan asumsi, salah satunya adalah waktu. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa waktu sebanding dengan dimensi geometri (P, L, T) sehingga diambil asumsi � çL� . Dengan asumsi tersebut Persamaan (III.7) dapat diselesaikan. Selanjutnya, dihasilkan hubungan faktor penskalaan dari keenam parameter yang diambil yaitu: � © l = sã — , � ζLs, � Ù= �η 2, �t = �η, �m = �η 3 . Berdasarkan penurunan faktor penskalaan di atas, maka diperoleh hubungan antara perubahan dimensi (� —) dengan perubahan frekuensi pribadi (� © l) sebagai berikut: �ωn = 1/λη , (III.8) � áL Ù Ñ Ù Þ L Þ Ñ . (III.9) Dengan kata lain, apabila dimensi dari poros rotor diskalakan sebesar � maka frekuensi pribadinya akan menjadi sã . 46 III.3 Penskalaan Tinggi Puncak FRF Faktor penskalaan frekuensi pribadi pada persamaan (III.9) dapat digunakan untuk menurunkan faktor penskalaan tinggi puncak FRF dengan menggunakan persamaan FRF yang dinyatakan dalam bentuk persamaan Laplace. Persamaan ini telah dijelaskan pada Persamaan (II.47) yang ditulis ulang sebagai berikut: (4(:O; L Í s / Û s kO 6 Et ζ 5 � á ÛOE� á Û 6 oä Á Û @ 5 Dengan asumsi nilai faktor penskalaan rasio redaman konstan dan substitusi O menjadi F�� maka diperoleh persamaan FRF sebagai berikut: (4(:F�;LÍ s / Û s k:� á 6F� 6;EtF�� áo ä Á Û @ 5 (III.10) Selanjutnya, sifat puncak FRF yang hanya terjadi pada saat � = � á mengakibatkan FRF simpangan menjadi (4(:F�;L d ::F�; (:F�; dL s / s :tF� á 6 ; , (III.11) sedangkan FRF kecepatan menjadi d :6:F�; (:F�; dL s / � á :tF� á 6 ; , (III.12) dan FRF percepatan menjadi d :7:F�; (:F�; dL s / � á 6 :tF� á 6 ; . (III.13) Dengan mempertimbangkan hubungan faktor penskalaan dimensi (� �) terhadap faktor penskalaan frekuensi pribadi (� �J) dan faktor penskalaan massa (� à) maka faktor penskalaan FRF (� ¿ Ë ¿) dapat diperoleh sebagai berikut: 47 � ¿ Ë ¿ æ Ü à ã Ô á Ú Ô áL (4( Ù (4( æ L / æ :� á 6 ; æ / Ù:� á 6 ; Ù L / æ :� á 6 ; æ � 7/ æ s � 6 :� á 6 ; æ Ls ã� , (III.14) � ¿ Ë ¿ Þ Ø Ö Ø ã Ô ç Ô áL (4( Ù (4( æ L / æ � á æ / Ù � á Ù L / æ � á æ � 7/ æ s � � á æ Ls ã 6 � , (III.15) � ¿ Ë ¿ ã Ø å Ö Ø ã Ô ç Ô áL (4( Ù (4( æ L / æ / Ù L / æ � 7/ Ù Ls ã 7 � .