4 Bab II Tinjauan Pustaka II.1 Gaya Hambat Udara Gaya hambat merupakan satu hal yang tidak bisa dihindari ketika model suatu benda bergerak jatuh ataupun naik secara vertikal. Ada beberapa deskripsi matematika sekaligus sebagai kuantitas yang akan mempengaruhi fungsi gaya hambat atau drag force, yaitu kecepatan benda bergerak, densitas fluida yang dilewati, viskositas fluida yang dilewati, serta luas penampang benda yang mengalami kontak dengan fluida (Maxemow, 2013). Sistem gaya hambat yang ditinjau berdasarkan nilai kecepatan benda yang bergerak melewati medium dapat terbagi menjadi dua, yaitu gaya hambat fungsi Stokes dan Newtonian. Penelitian yang akan dilakukan saat ini akan meninjau bagaimana perilaku benda yang bergerak apabila ditinjau dengan adanya gaya hambat fungsi Newtonian. Gaya hambat Newtonian merupakan gaya hambat yang nilainya sebanding dengan nilai kuadrat kecepatan dari benda (Schroeder, 2021). Persamaan fisis dari gaya hambat udara model Newtonian ini dapat dituliskan pada Persamaan (II.1): (&LF>R 6 RÜ (II.1) Nilai b pada Persamaan (II.1) menyatakan koefisien hambatan udara dengan benda. Nilai tersebut dapat dihitung dengan Persamaan (II.3). Nilai R 6 merupakan kelajuan benda yang bergerak di udara, untuk gerakan benda dua dimensi yaitu R 6 L R ë 6ER ì 6, dan RÜ merupakan vektor satuan R dan juga menjelaskan arah dari gaya hambat yang bekerja pada benda. Persamaan (II.1) dapat diinterpretasi dengan mekanisme gerak bendanya, arah gaya hambat udara akan senantiasa melawan dari arah pergerakan benda. Anggaplah apabila sebuah benda sedang bergerak turun dari acuan ketinggian tertentu, maka gaya hambat akan mengarah ke atas. Adanya mekanisme ini dapat memprediksi nilai percepatan gerak benda yang akan lebih kecil dari percepatan gravitasi Bumi, hal ini akibat adanya interaksi antara molekul udara dengan molekul 5 benda per satuan waktu sehingga memunculkan konsep momentum antar keduanya (Schroeder, 2021). Nilai dari gaya hambat dari Persamaan (II.1) dapat dianalisis dengan mengambil bentuk skalar dari persamaan tersebut, sesuai pada Persamaan (II.2): +(&+L>R& 6 (II.2) Nilai b pada Persamaan (II.1) dan (2) secara umum dapat dihitung dengan Persamaan (II.3). Nilai b tersebut akan bergantung pada massa jenis udara :�;, konstanta % ½ bernilai sekitar 0,4 sampai 0,5 berdasarkan eksperimen yang telah dilakukan oleh Eiffel, dan radius benda (Cohen et al., 2013). Gaya hambat yang dirasakan benda dapat terjadi ketika bergerak di udara baik secara vertikal naik atau turun. Gaya hambat antara benda dan udara menghasilkan percepatan benda yang diperlambat yang pada akhirnya benda dapat mencapai kecepatan terminal ketika ketinggian benda cukup untuk mencapai nilai dari kecepatan tersebut sebelum mencapai tanah atau acuan tertentu. Kecepatan terminal merupakan kondisi dimana nilai dari @R@P bernilai sama dengan nol. Benda akan bergerak dengan kecepatan konstan apabila kondisi dicapai. Persamaan (II.2) dapat diselesaikan menjadi fungsi percepatan sesuai pada Persamaan (II.4) untuk arah vertikal dan Persamaan (II.5) untuk arah horizontal. >L s t �% ½�N 6 (II.3) = ëLF > I RR ë (II.4) = ìLFCF > I RR ì (II.5) 6 II.2 Gaya Angkat/Lifting Efek knuckle dapat diketahui pada benda yang juga berputar di udara sambil berputar. Benda yang mengalami efek knuckle dapat diketahui dari adanya goyangan arah samping atau kanan/kiri apabila dilihat oleh pengamat dari arah atas ataupun bawah. Gerakan ini selain dipengaruhi oleh gaya hambat udara/drag force juga dipengaruhi oleh gaya angkat atau lifting. Gaya angkat yang dirasakan oleh benda dipengaruhi oleh koefisien lifting. Uraian vektor yang dialami benda saat gerakan knuckle terjadi dapat terlihat pada Gambar II.1. Gaya hambat udara pada gerak knuckle khusus pada benda yang memiliki diameter dan massa jenis seperti bola baseball akan berlaku Persamaan (II.6). Menurut (Giordano, 1997) pada (Fitzpatrick, 2013), gaya hambat udara yang dirasakan oleh baseball akan bergantung pada nilai kelajuan benda yang berubah setiap waktu. Nilai R × dan yang digunakan untuk baseball secara berurutan bernilai 35 m/s dan 5 m/s. Fenomena gerakan knuckle juga dipengaruhi oleh suatu parameter yang disebut sebagai gaya lateral (lateral force), ):�; yang diungkapkan pada Persamaan (II.8). Gaya lateral merupakan gaya yang bekerja pada benda yang berputar di udara dengan nilai laju sudut, �. Gaya lateral dipengaruhi oleh nilai sudut orientasi rotasi, �. Nilai Gambar II. 1 Uraian vektor pada gerak knuckle 7 sudut orientasi yang berubah terhadap waktu inilah yang disebut sebagai laju sudut. Ilustrasi gerakan benda yang berputar di udara dapat dilihat pada Gambar II.2. B ½ I LF(:R;RRÜ (II.6) Nilai dari (:R; dapat dinyatakan seperti pada Persamaan (II.7): (:R;L rárru{ E r�rrwz sE‡š’>:RFR ×; . (II.7) ):�;Lr�w>•‹�:v�;Frátw•‹�:z�;Erárz•‹�:st�;F rártw •‹�:sx�;. (II.8) fungsi pada Persamaan (II.6), (II.7), dan (II.8) digabung pada set Persamaan (II.9): @T @P LR ë @U @P LR ì (II.9) Gambar II. 2 Variasi arah sudut orientasi rotasi awal benda 8 @V @P LR í @R ë @P LF(:R;RR ë @R ì @P LFCF(:R;RR ì @R í @P LF(:R;RR íEC):�; @î @P L� @ñ @P Lr II.3 Integrator Runge-Kutta Orde ke-4 Integrator Runge-Kutta orde ke-4 atau sering disingkat dengan RK orde ke-4 merupakan salah satu metode lain yang digunakan untuk memodelkan berbagai kondisi fisis sebagai representasi dari perilaku alam yang dimodelkan secara numerik. Hal ini disebabkan karena pendekatan yang dilakukan oleh RK orde ke-4 berupa suatu fungsi dari model yang diamati serta fungsi tersebut akan selalu diturunkan terhadap fungsi waktu (Suryaningrat et al., 2020). Bentuk matematis dari fungsi umum Runge-Kutta dapat dilihat pada Persamaan (II.10): @U @P LB:PáU; (II.10) Integrator Runge-Kutta memiliki tingkat ketelitian yang bervariasi, bergantung pada orde numerik yang dijalankan, semakin besar orde yang dipilih maka ketelitian pemodelan sistem fisis akan semakin akurat, mendekati kondisi nyata. Orde Runge- Kutta yang umum digunakan yaitu orde ke-4 dengan persamaan numerik sesuai pada Persamaan (II.11): 9 U á > 5LU áEDÍ> ÜG Ü æ Ü @ 5 (II.11) variabel y menunjukkan fungsi sembarang yang diturunkan terhadap waktu. Nilai yang berada pada notasi Sigma di Persamaan (II.11) dapat diekspansi bergantung pada orde yang digunakan, contoh untuk Runge-Kutta orde 4 dapat dituliskan pada Persamaan (II.12) (Suryaningrat et al., 2020): � � � � � G 5LB:P á�U á; G 6LBlP áE D t áU áE D t G 5p G 7LBlP áE D t áU áE D t G 6p G 8LB:P áEDáU áEDG 7; (II.12) Skema program numerik yang dijalankan dengan RK ode ke-4 dilakukan sampai sejumlah n-kali dengan mempertimbangkan tingkat akurasi waktu dt atau P yang kemudian dapat dilakukan proses plotting ataupun object trajectory path ketika perulangan sudah selesai.