Hasil Ringkasan
23 Bab IV Parameterisasi Teori Proca yang Digeneralisasi dengan Gelombang Gravitasi Parameterisasi dilakukan untuk melihat pengaruh dari fungsi sembarang G 2, G3, G 4, dan G5 pada persamaan gelombang gravitasi untuk teori Proca yang digeneralisasi. Persamaan Einstein untuk teori Proca yang digeneralisasi dinyatakan dalam persamaan (III.18). Persamaan gelombang gravitasi diperoleh dari persamaan tersebut yang timbul akibat adanya perturbasi terhadap kurvatur. Dengan meninjau amplitudo pertubasi sesuai dengan persamaan (II36), maka diperoleh persamaan gelombang lalu dibandingkan dengan persamaan gelombang umum seperti persamaan (II.27). Pada bab ini dibahas untuk persamaan gelombang gravitasi dari teori Proca yang digeneralisasi untuk dua kondisi atau kendala yaitu; persamaan gelombang gravitasi untuk teori Proca yang digeneralisi untuk G 5 = 0, dan kondisi kedua adalah untuk G 4 dan G5 dibuat konstan. 1. Persamaan gelombang gravitasi untuk semua lagrangian pada teori Proca yang digeneralisasi kecuali fungsi G 5(X). Persamaan gelombang gravitasi diturunkan dari persamaan Einstein pada persamaan (III.18). Fungsi sembarang G 5 merupakan fungsi dari vektor medan A m yang dikopling dengan kurvatur dan tensor Einstein. Untuk lagrangian yang mengandung fungsi G 2 sampai dengan G4 diambil dari persamaan (II.4) sampai dengan (II.7). Sedangkan tensor energi-momentum menggunakan persamaan (III.3) sampai dengan persamaan (III.6). Untuk kovarian derivatif menggunakan persamaan (III.9) sampai dengan persamaan (III.16) Ketika fungsi G 5 ini dibuat nol maka komponen mn untuk persamaan gelombang gravitasinya menjadi 24 () () () ()() 2 22 3 3 33 4 4 444 11111 22222 11 1 24 4 2 X X XX hhhhh hFFhFFGX hG X G XAA G A hG A GAAGA G hhhG hh GAA h GAAhG mn aa ab anm man mn a b mn ab ab mn mn ab mn ab mn aa mn n m mn a mn a gl gl n m m n mn g l mn g l gl nmgl nm a h hh h h h w w w w w w w w ’ ’ ’ w w w w w w w 2 m 2 mn 11 hh 1 m h mn 4 h 4 1 h 1 hh mn 4 hh ) ( )h gl ) (mn g l) (4)hhG h) (hhG hhG) (hhG h) (4) a4 whG 4 hG 4 () () () ()() 4 22 44 4 4 2 4424 24 24 24 24 2 4 4 4 2 21 1 XX XX X X XXX X XXX hG h Gh G h G A hG A GAA A G A AcG AA ch G A A cG AA A A c G A A cG A A c G A A G A Ah aa nm man aa mn m n mn a mn a aa rs nm a a nm mn rs rs rs s mn rs n m rs ns m ssrsr ns m mn rs rs mn h h h w w w w w ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ - mn 4 hG 4444 () () () 24 24 24 21 21 0 XX X X cGAAAA cG AA cG A A sr s nm rs ns m r rmn ’ ’ ’ ’ ’ ’ (IV.1) Dengan mensubsitusi kovarian derivatif medan vektor dari persamaan (III.9) sampai dengan (III.16) dan dijalankan indeks masing-masing, diperoleh persamaan gelombang untuk komponen 00 222 4422333 22 42 34 4 242 44 24 22 2 2 44241 33 2 29 9 412 3 333 XXX XXX XX XX XXXXX hG h GhGG G GHG GGHGH GGHcGH GHG cGfffff ff f fff f fff c c c c c c --- 333333 GH 33 3 33 4444 2 ff 2 GG 2 99 2 99 2 44 XX424 4 2 XX4 f 2 X42 44 GHcG 2 242 1 3 2 X4244244444 121212 2 44444444 4 (IV.2) Pada persamaan (IV.2) terlihat bahwa untuk komponen 00 tidak menimbulkan komponen yang mengandung perubahan laju massa Plank yaitu suku-suku yang mengandung h cdan juga tidak memunculkan suku h yang mengandung graviton, tetapi hanya mengandung suku-suku h c c dengan suku-suku pembangkit gelombang gravitasi berasal dari semua fungsi sembarang G 2, G3, dan G4. Hal ini menunjukkan bahwa untuk teori Proca yang digeneralisasi haruslah memuat semua fungsi sembarang G 2, G3, G4 dan G5 agar diperoleh persamaan gelombang gravitasi yang memuat suku-suku massa Planck dan graviton. Sedangkan persamaan gelombang untuk komponen i0 dan 0j semua bernilai nol, pada komponen silang ruang-waktu tidak muncul gelombang gravitasi. 25 Sedangkan untuk komponen ij atau ruang saja, diperoleh persamaan gelombang gravitasinya 22 444 22 23 3 4 22 2 23 3 22 2 2 2 2 4424 22 2 2411 2 22 36 3 18 4 3 3 ij ij ij ij ij ij ij ij X ij ij ij ij XijXijXij Xij hahGahGhhGh Gh G h G Hh G H h aGGa GHa Ga H Ga H cG H cG a Hdd ff f dfdfd fd ffd fd fd c c c c c c c c c c - ij 333333 hGhG3h3 33 ij 2 j 22 G 22 3a 22 ij j c3 (IV.3) Pada persamaa (IV.3) terlihat pada komponen ruang, semua fungsi sembarang G 2, G 3 dan G4 memberi pengaruh pada massa graviton atau suku-suku yang mengandung h ij, tetapi suku-suku yang mengandung massa Planck tidak muncul, yaitu suku-suku yang mengandung ij h c. 2. Persamaan gelombang gravitasi ketika fungsi G 4 dan G5 dibuat konstan Pada kasus kedua dilakukan untuk melihat pengaruh fungsi sembarang G 4 dan G5 ketika dibuat konstan, artinya pada fungsi tersebut tidak memuat medan Proca. Lagrangian yang dipilih adalah 5 4 2 Fi i Sdxg = § · ¨ ¸ © ¹ ¦ ³ · 5 ¸Fi · · F ¹2 ¸ ¸Fi (IV.4) 1 4 F FF mn mn =- 1 4 F F=- (IV.5) () 22 GX=( 22 GX( 2 = (IV.6) () 33 GX A m m ’ ( 33 GX(= 3 GX( 3 (IV.7) 44 GR= 44 GR 4 = (IV.8) 55 GG A mn mn ’ 55 GG mn =GG 5 (IV.9) Persamaan aksi untuk masing-masing lagrangian () 41 8 gF Sdx gggFF mn ab mn ab dd ª º =-- « » ¬ ¼ ³ (IV.10) () () () () 4 222 1 22 X g Sdx ggGX gGXAAg mn mn mn n m dd d ª º- =- -- « » « » ¬ ¼ ³ (IV.11) 26 () () () () () 4 33 3 3 22 X gg Sdx GXAgg GAAg gG X g g A g amn mn amn nm ab mn ma nb ddd d ª-- ’ « « ¬ º ’ ¼ ³ (IV.12) () () 4 44 4 2 g Sdx GgggR gGgR mn ab mn mn ab mn ddd ª º- « » « » ¬ ¼ ³ (IV.13) () () () () 4 55 5 5 5 2 1 2 1 2 g Sdx GggGA gG g g g R A gG g g R A gG G A g mn a b mn ab mn a b am bn mn a b ab mn nmn mn n dd d d d ª- ’ « « ¬ ’ ’ º ’ ¼ ³ (IV.14) Tensor energi-momentum diperoleh dengan () 2A A S T gg mn mn d d- = - (IV.15) Sehingga () () () () () 22 3 33 445 55 5 1 4 22 2A X X TgFFgGXGXAAGXAg GAA GX A GgR GR GgG A GR A GR A GG A ab a mn mn ab mn n m a mn ab n m m n mn mn mn ab bn mb mn b mn n ’ ’ ’ ’ ’ ’ (IV.16) Persamaan gelombang gravitasi diturunkan dari persamaan Einstein pada persamaan (III.18) sehingga menjadi () () () () 22 333 4455 55 11 24 2 2 20 X X RR gFFgGXGXAA GX Ag GAA GXgg A Gg g R GR Gg G A G g g R A Gg R A GG A ab mn mn mn ab mn n m aab amn nm manb ab ab ab mn ab mn mn ab am bn ab n ab mn mn n h ’ ’ ’ ’ ’ ’ (IV.17) dengan mensubsitusikan metrik menjadi metrik latar belakang dan metrik perturbasi, tensor Einsten dengan persamaan (III.19) diperoleh komponen mn untuk persamaan gelombang gravitasinya 27 () () () () () () 2 22 3 3 33 4 4 4 44 111 11 222 22 11 1 24 4 2 X X hhhh h hFFhFFGX hG X G XAA G X A hG X A GAA GX A G h G hG h GhGh mn m aaa ab anm man a mn mn a b aabab mna mnab mnab mn aa mn n m mn a mn a ab a a n m m n mn a b mn a a n m aa man a h hh h h hh w w w w w w w w w w w w ’ ’ ’ w w w w w w w w w w 45 5 555 55 5 55 5 55 5 1 2 11 1 22 2 vv G h GG A h GG A GA h GA hGA h GA h GA h GA h GA hGA hGA h GA h GA h G n mn mn ab ab m n mn ab mn ab ab a b a mab ma b anm ba ba b bman ba bmn na n a na nanm nman na nnmn nmn mnnmn mn h hh w w ’ ’ ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w ’ w w 0Ah na na ’ w w (IV.18) dan dengan menggunakan kovarian derivatif menggunakan persamaan (III.9) sampai dengan persamaan (III.16), persamaan gelombang yang diperoleh untuk komponen 00 () () () () 22 322 331 3 2 XX GX h GX G X GX G affff c 2 3X3 f 2 3X3 G 33 (IV.19) Dari persamaan (IV.19) hanya muncul suku h c yang mengandung massa Planck dipengaruhi oleh fungsi sembarang G 3. Terlihat bahwa jika G4 dan G5 dibuat konstan, maka kedua fungsi tersebut tidak mempengaruhi persamaan gelombang gravitasi. Artinya jika kedua fungsi tersebut mengandung medan Proca maka akan mempengaruhi gelombang gravitasi.