Hasil Ringkasan
16 Bab III Persamaan Gelombang Gravitasi Teori Proca yang Digeneralisasi Gelombang gravitasi merupakan hasil dari pertubasi metrik datar. Gelombang gravitasi tersebut membawa energi-momentum dalam penjalarannya sebagai riak dari kurvatur. Berdasarkan persamaan Einstein, teori Proca yang digeneralisasi dapat dinyatakan sebagai ()2A GT mn mn k= . (III.1) Dengan G mnadalah tensor Einstein dan ()A T mnadalah tensor energi-momentum dari teori Proca yang digeneralisasi. Tensor energi-momentum teori Proca yang digeneralisasi diperoleh dari variasi aksi teori Proca yang digeneralisasi dengan () 2A A S T gg mn mn d d- = - (III.2) Dari persamaan (II.4) sampai dengan persamaan (II.8) diturunkan untuk memperoleh tensor energi momentum. Penurunan dari persamaam aksi sehingga memperoleh tensor energi momentum dapat dilihat pada lampiran A. Dengan variasi aksi terhadap metrik untuk setiap lagrangian diperoleh tensor energi- momentum untuk teori Proca yang digeneralisasi: () 1 1 4 TgFF ab mn abmn = (III.3) () () () 222 X TgGXGXAA mn n mmn (III.4) () () () 3333 2 X TGXAgGAAGXggA aab amn nm manbmn ’ ’ (III.5) () () () () () () () 2 44 444 2 44 24 24 24 24 24 24 2 4 22 11 21 XX XX X XXX XX XXX TgGXgRGgRAAGXRgGA GAA A Ggg A A cg G A A cG AA A A cG g g A A cG A A cgG A A cG AA A A ab ab a mn ab ab n m mn mn amn aaba nm a ambna rs rs mn rs n m rs grs s mr gn s n s m sr sr mn rs n m rs ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ () () 24 24 21 XX cggG A A cG A A asr r mr na s r m n ’ ’ ’ ’ (III.6) 17 () () () () () () () () 55 55 3 55 5 32 55 25 25 25 2 1 2 6 1 6 11 22 X X XX X XXX X TgGXGAGAAGAGXggRA GXgR A GXG A gG A GAA A Ggg A A dg G A A A dG AA A A A dG g g A A A dg lg lg lg mn lg n m lg lm gnmn lg n a lg mn mn n mn a amba nm a ambn m grs grs mn g r s n m g r s ba rs am bn r s l ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ () () () () () () () 5 25 2 5 25 25 25 25 25 25 1 1 2 1 11 2 11 11 23 23 66 X XX XX X XX XXX gG A A A dG A A A d g G A A A dG AA A A A dGgg A A A dG Agg A A dG A A A dgG A A A dG A gl rs mrn g s gs asr gnsm mn a rs asr basr nma rs ambn rs alsr a r almrns a rnm grs mn r s g ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ () () () 25 25 25 2 5 25 25 25 25 11 23 23 33 11 23 32 1 2 XX XX XX X XX AAAA dGgg A A A dG A A A dG A A A dgG A A A dG AA A A A dG g g A A A dG A A A dG A Ag g grs nm rs g l g rs rs lm rn s g r s m n gr gr s rn mg mn rs g gr s l gr s nm rs g lmrn s g rs gr rs m n rs amgn ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ A as ’ (III.7) Dengan latar belakang metrik FLRW yang dinyatakan oleh () 222 ij ij ds dt a t dx dxd (III.8) Turunan kovarian medan vektor ()( ,0,0,0)At m f= diperoleh dengan menggunakan koneksi simbol Christofel, penurunannya dijabarkan pada lampiran B. Nilai kovarian derivatif yang nilainya tidak nol diperoleh 0 0 Af ’ f (III.9) 00 Af ’ f (III.10) 0 0 Af ’ f (III.11) 00 Af ’ f (III.12) 1 2 ii jj Ah af c ’ (III.13) 1 2 ij ji h A a f c ’ (III.14) 18 311 22 jkikiki jjk h Aahh a df f - c c ’ (III.15) 211 22 jj i j ki ki kk hh Aa h aa fd f - c c ’ (III.16) Gunakan pendekatan teori linierisasi pada persaman Einstein untuk teori Proca yang digeneralisasi dengan mengambil persamaan umum untuk teori Einsteinya adalah () ()21 2 Am RRT T mn mn mn mn hk (III.17) Dengan R mn merupakan tensor Riemann, R adalah Ricci skalar, hmn adalah metrik latar belakang, ()A T mnmerupakan energi momentum tensor teori Proca yang digeneralisasi yang diperoleh pada persamaan (III.3) sampai dengan persamaan (III.7), k adalah konstanta gravitasi dan ()m T mnmerupakan tensor energi momentum materi, tetapi karena di sini gelombang gravitasi merambat dalam vakum dan hanya gelombang gravitasi sebagai sumber kurvatur maka ()m T mn= 0, sehingga persamaan (III.17) menjadi; ()1 0 2 A RRT mn mn mn h (III.18) Karena gelombang gravitasi merupakan hasil perturbasi, maka semua kurvatur dan turunan kovarian menggunakan formula yang memuat latar belakang dan perturbasi. Bagian tensor Einstein, yaitu suku pertama dan ke dua dari persamaan (III.18) menjadi () () 11 1 22 2 RR h hh h hh mn aa ab mn mn a n m m a n m n a b mn hh w w w w w w w w ( ) 1 ) 2 ) h ab ( 1 ) ab m n( ) 2 ) h)h mn a b)( ) 2 ) h mnhh h)( 1 )hh hh)(hh hh)(mn abmn)(hh hhh)(mn (III.19) Persamaan gelombang gravitasi untuk komponen mn diperoleh dengan memisahkan suku-suku tensor energi-momentum yang dipisah-pisah pengerjaannya agar mudah menghitungnya, untuk lagrangian pertama () 11 11 44 44 gFF h FF FF hFF ab ab ab ab mn ab mn mn ab mn ab mn ab hh (III.20) Lagrangian ke dua 19 () () () () () () () () 22 22 222 XX X gG X G XAA h G X G XAA GX hGX G XAA mn n m mn mn n m mn mn n m h h (III.21) Lagrangian ke tiga () 33 3 333 2 2 X X gG A GAA G A GA h GAA GA a mn a n m m n a amnmn nm mn h ’ ’ ’ ’ (III.22) Lagrangian ke empat ()() ()() () () () () 4 () 44 4 22 44 424 24 2 4 24 11 2 22 4 22 1 A X XXX XX XX X X ThGhhGAAhh Gh hhh hG A G AA A GAAc hGAA cG AA A A c G A A cG A A mn gl gl mn mn g l n m g l aa anm man mn mn aa mn mn a n m a ars anm mnmn rs rs s s nm rs ns m ns m h h h w w w w § · w w w w w w ¨ ¸ © ¹ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ - ) ( )h gl ) (nm gl) (4) X hGAA hGAA) (hGAA hGAA) (hGAA hAAGAA) (4) X hhhh mmmn m hh ()() () () () 24 24 24 24 1 21 21 XXX XX chGAAcGAAAA cG A A cG A A sr sr mn mn r s n m r s sr ns m rmn h ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ (III.23) Lagrangian ke lima 20 ()() () () () 5 () 5 5 55 1 2 1 2 1 2 A X ThGhhhhh hA GAA h h h h h h A Gh hAG h h lg mn lg a a ab ab ab l g mn mn agl lag ab lg lgab lg ab a a ab ab ab l g n m agl lag ab lg lgab lg ab ab ab a ab ab mn anm ma hhhhh hhhh h § · w w w w w w w w w w w w ’ ¨ ¸ © ¹ § · w w w w w w w w w w w w ’ ¨ ¸ © ¹ w w w w ’ w w w w () () () () () () () 5 332 55 5 25 25 1 2 2 11 66 11 22 XXX X XXX hhA Ghh hh h hA hG A GAA A G A A dhGAAAdGAAAAA mn mn aab g nabmng a a ab ab ab n anm man ab mn mnab mn ab n aam mn mn a n m a m n m grs grs mn mn g r s n m g r s h hhhh h h § · w w w w ’ ¨ ¸ © ¹ § · w w w w w w w w w w w w ’ ¨ ¸ © ¹ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ()() () () () () () () 25 25 25 25 25 25 25 25 25 11 11 22 111 1 23 6 XXX XXX XXX X dG A A A dG A A A dG A A A dhGAAA dGAAAAA dG A A A dG A A A dG A A A dhGAAA rs gs gs nm rs g msn g ns m asr asr mn mn a r s n m a r s sr a s a r nm rs a ms n a rn m grs mn mn r s g h h ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ () () () () () 25 25 25 25 2 5 25 25 25 25 1 23 6 11 23 23 33 11 23 32 1 2 XX XX XX XX X XX dG AA A A A dG A A A dG A A A dG A A A d h G A A A dG AA A A A dG A A A dG A A A dG A A grs nm rs g gs rs ms n g rs m n gr gr s r n m g mn mn r s g gr s g s nm rs g ms n g rs r rs m n rs n m h ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ A s (III.24) Persamaan gelombang gravitasi diperoleh dengan mensubsitusi persamaan (III.19) sampai dengan persamaan (III.24) ke persamaan (III.18) persaman gelombang untuk komponen mn untuk lagrangian ke dua sampai dengan lagrangian 4 disederhanakan menjadi 21 () () () ()() 22 2333 34 4 444 11111 22222 11 1 24 4 2 XX XX hhhhh hFFhFFGXhGX G X AA G A h G A G AA GAGhhhGhh GAA h GAAhG mn aa ab anm man mn a b mn ab ab mn mn ab mn ab mn mn aa nm mn a mn a nm gl gl m n mn g l mn g l gl nmgl nm a h hh h h h w w w w w w w w ’ ’ ’ w w w w w w w 2 m 2 mn 11 hh 1 m h mn 4 h 4 1 h 1 hh mn 4 hh ) ( )h gl ) (mn g l) (4)hhG hhhG h) (hhG hhG) (hhGhh) (4) a4 whG 4 hG 4 () () () ()() 4 22 44 4 4 2 4424 24 24 24 24 2 4 4 4 2 21 1 XX XX X X XXX X XXX hG h Gh G h G A hG A GAA A G A AcG AA ch G A A cG AA A A c G A A cG A A c G A A G A Ah aa nm man aa mn m n mn a mn a aa rs nm a a nm mn rs rs rs s mn rs n m rs ns m ssrsr ns m mn rs rs mn h h h w w w w w ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ - mn 4 hGG 4444 () () () 24 24 24 21 21 0 XX X X cG AA A A cG A A cG A A sr s nm rs ns m r rmn ’ ’ ’ ’ ’ ’ (III.25) Untuk lagrangian 5 dapat dilihat pada persamaan (III.24). Dengan menjalankan indeks serta mensubsitusika nilai kovarian derivatif persamaan (III.9) sampai dengan persamaan (III.16) pada persamaan (III.19) sampai dengan persamaan (III.25), diperoleh persamaan gelombang gravitasinya sebagai berikut; Komponen 00 22 54 522 2 2 2 544 3 2 2325 55 22233 22 3 3 4 5 25 13 1 22 2 13 2 22 11 44 2 34 2 3 XX XX X XXX XXXXX GG hhGh hHh aa a a a GHGGH Gh h h h aaaa GH hGhG h aa a GG G G G G dGfff f fff f f ff ff f f fff f f f c c c c c c c c c c c c c c c c H 1f 1 hH 1 hh 222 5 G 5 f 55 h 55X5X hh 5 2 XX hh 5XX h a2 H h fHH c H h H a2 ffG 444X4X44 h X4X4X4 1 a H h fHH c 11 h f 32 5 1 2 4 XX5 h 2 ff XX5 G 323 XX5 c 322 h 32232 32 h 22 22 3 3 34 525 2 3 X34 525 45 22 3 f 3 5X34 525 4534 5 dG 22 322 322 22 2 22 3 232222 34 525 4534 5234 534 5 45453434 5 4444 22 3222222 343434 53434 5 453434 534 (III.26) Berdasarkan persamaan (III.26) terlihat bahwa untuk komponen 00 yang artinya hanya komponen waktu, gelombang gravitasi muncul dan dipengaruhi oleh medan Proca yang berasal dari fungsi sembarang G 2 sampai dengan G5, semua fungsi tersebut mempengaruhi munculnya persamaan gelombang gravitasi yang memuat 22 suku-suku h c c dan h c. Untuk fungsi sembarang G3, G4 dan G5 mempengaruhi suku-suku yang mengandung massa Plank yaitu suku-suku yang mengandung h c. Komponen ij untuk gelombang gravitasi 3 52 22 35 5 5 33 23 25 5 2 2 22 22 23 4 4 23 511 1 1 22 2 2 111 224 11 22 1 6 ij ij ij ij ij ij ij ij X ji X ij ij ij X ij X ij ij ij X ij X ij X Gh hhGh HhaHh aaa aG h G aHh G h aG h a Gh G h dG h G h aG aG aG aG aGf f f f ff ff fff dfd fd fd f c c c c c c c c c c c c c ij 2 ij 11 hH 1 hhH ijij hhHh 211 2 Xi j5 242 55 h 2 iiX55555 aG 2 X55555 c 21 2 h 2 Hh GHh G 22111 2 aHhG h 2 55555555 Hh GHh G 2 311 3 Xij5ij 22 2525 h dGh Gh 31 3 iiX25 5252525 hdGhGhdGhG 33 5 1 3 X255 hdGhhdGdG h 3 2252525252525 22 22 22 ij X ij X ij444 fd 2 222 2 4X4444 aG 22 2 2222 444444 aGaGaG 22222 44444 3 f 3 23 23 52511 22 ij X ij X ij aG daGdfd fd 231 3 X ij25 2 23 fd 3 X25 daG 32 23 22 33 252 33 (III.27) Pada persamaan (III.27) gelombang gravitasi muncul diperngaruhi oleh semua fungsi sembarang G 2 sampai dengan G5. Fungsi-fungsi tersebut mempengaruhi munculnya suku-suku , ij ij hh c c c dan h ij. Untuk fungsi sembarang G3 dan G5 mempengaruhi suku yang mengandung massa Planck yaitu suku-suku yang mengandung h c. Fungsi sembarang G2, G3 dan G5 mempengaruhi munculnya suku-suku yang mengandung graviton, yang ditunjukkan oleh suku-suku yang mengandung h ij. Untuk komponen i0 dan 0j bernilai nol artinya gelombang gravitasi tidak muncul pada suku silang ruang-waktu..