Path: Top > S3-Dissertations > Mathematics-FMIPA > 2018

WELL-POSEDNESS MASALAH REAKSI DIFUSI DENGAN TUNDAAN DAN IMPULS

WELL-POSEDNESS OF THE REACTION DIFFUSION SYSTEM WITH TIME DELAY AND IMPULSES

PhD Theses from JBPTITBPP / 2018-09-25 15:07:34
Oleh : CECE KUSTIAWAN (NIM:30112006), S3 - Mathematics and Natural Sciences
Dibuat : 2018-09-14, dengan 1 file

Keyword : semigrup, semigrup terintegrasi, operator m-akretif, skema beda hingga.

Penelitian ini mengkaji masalah well-posedness suatu sistem reaksi difusi dengan tundaan dan impuls, yaitu terkait keberadaan, ketunggalan dan kestabilan solusi dari sistem tersebut. Masalah yang dikaji adalah




(∂u(x,t))/∂t=(∂^2 u(x,t))/(∂x^2 )+u(x,t)[1-u(x,t τ)],τ>0. (1)




Banyak persamaan diferensial yang solusi eksplisitnya tidak dapat ditemukan. Namun demikian, beberapa sifat misalnya keberadaan solusi dapat ditentukan. Misalnya pada kasus Persamaan (1), walaupun solusi eksplisitnya tidak ditemukan namun keberadaan solusinya dapat ditentukan melalui pendekatan semigrup. Selanjutnya ditentukan solusi numeriknya, dalam hal ini pendekatan yang digunakan adalah skema beda hingga. Bagian pertama dari penelitian ini mengkaji well-posedness masalah reaksi difusi (1) dengan tundaan dan impuls dengan syarat batas Neumann yang disertai fungsi histori dan impuls. Fungsi histori adalah data di masa lalu sebagai tundaan, sedangkan impuls adalah perubahan sesaat yang terjadi pada suatu sistem, misalnya pada populasi, pemanenan dapat dipandang sebagai impuls. Teknik yang digunakan adalah mentransformasi sistem tersebut menjadi masalah Cauchy abstrak tundaan yang ditinjau pada kasus kontinu bagian demi bagian, yaitu pada interval waktu [-τ,t_1], [t_k,t_(k+1) ],k=1,⋯,m-1 dengan t_k adalah waktu impuls. Kemudian digunakan teorema-teorema yang sudah dikembangkan oleh Pazy (1983), Goldstein (1985), Ruess dan Summers (1994), Batkai dan Piazzera (2001) terkait operator m-akretif yang membangun semigrup-C_0 (semigrup kontinu kuat). Dengan menggunakan teorema Crandall-Liggett masalah well-posedness ditentukan dari sifat semigrup-C_0 dengan syarat-syarat tertentu. Selain itu, digunakan semigrup terintegrasi untuk masalah Cauchy abstrak yang terkait dengan persamaan diferensial dengan tundaan dan impuls.



Pada bagian kedua penelitian ini, dibangun skema numerik dengan menggunakan skema beda hingga untuk mencari solusi numerik Persamaan (1). Untuk mendapatkan gambaran efektifitas skema tersebut, digunakan persamaan berikut:





(∂u(x,t))/∂t=(∂^2 u(x,t))/(∂x^2 )-u(x,t)+u(x,t-τ),τ>0. (2)






yang solusi eksplisitnya bisa ditemukan sebagai standar acuan (benchmark). Solusi eksplisit dari Persamaan (2) dibandingkan dengan solusi numerik yang didapat melalui skema yang dibangun yaitu dengan melihat selisih dari kedua solusi tersebut. Skema numerik yang digunakan adalah metode beda hingga yang merupakan pengembangan dari deret Taylor. Dengan ekspansi deret Taylor tersebut dapat ditentukan skema beda maju turunan pertama u terhadap variabel waktu dan skema beda pusat turunan kedua u terhadap variabel ruang, sehingga skema yang digunakan untuk masalah reaksi difusi di atas adalah skema forward time centered space (FTCS). Beberapa simulasi dilakukan untuk memverifikasi skema tersebut. Dalam masalah tertentu, simulasi dibandingkan dengan solusi eksplisit yang sesuai.

Deskripsi Alternatif :

Well-posedness of a system of reaction-diffusion with time delay and impulses is discussed in this dissertation. The system is as follows :



(∂u(x,t))/∂t=(∂^2 u(x,t))/(∂x^2 )+u(x,t)[1-u(x,t-τ)],τ>0. (1)




Many differential equations are well posed although the solution can not be expressed explicitly. For example in the case of Equation (1), although the explicit solution is not found but the existence of the solution can be determined by the semigroup approach. To find the solution we turn our attention to numerical method. In the first part of this dissertation, the system (1) with single time delay and impulses are investigated. The boundary condition is homogeneous Neumann boundary condition. The impulses occur at fixed times. Semigroup approach is used to obtain the well-posedness of the problem. First, the problem is considered on each time interval between two consecutive impulses. Some theorems developed in Pazy (1983), Goldstein (1985), Ruess and Summers (1994), Batkai and Piazzera (2001) that are related to the strongly continuous semigroup due to some m-accretive operators, are used. Some sufficient conditions are obtained to prove the well-posedness of the problem. Integrated semigroup is used to obtained the well-posedness of the problem. Some sufficient conditions are imposed to the operators involving in the problem, in order to achieve the well-posedness.




In the second part of this dissertation, a numerical scheme is developed along with its stability condition. Forward Time Centered Space (FTCS) is used to find the approximate solution of (1). To obtain how effective the scheme is, the following equation:




(∂u(x,t))/∂t=(∂^2 u(x,t))/(∂x^2 )-u(x,t)+u(x,t-τ),τ>0. (2)




whose explicit solution can be used as a benchmark. The explicit solution is compared to the numerical solution by finding the error, that is the difference between the two solutions. The numerical scheme used is finite difference method based on Taylor expansions. The FTCS scheme is applied to both temporal and spatial variables. Some simulations are presented to verify the scheme. In a certain problem, the simulations are compared to the corresponding explicit solutions.


Copyrights : Copyright (c) 2001 by Perpustakaan Digital ITB. Verbatim copying and distribution of this entire article is permitted by author in any medium, provided this notice is preserved.

Beri Komentar ?#(0) | Bookmark

PropertiNilai Properti
ID PublisherJBPTITBPP
OrganisasiS3 - Mathematics and Natural Sciences
Nama KontakUPT Perpustakaan ITB
AlamatJl. Ganesha 10
KotaBandung
DaerahJawa Barat
NegaraIndonesia
Telepon62-22-2509118, 2500089
Fax62-22-2500089
E-mail Administratordigilib@lib.itb.ac.id
E-mail CKOinfo@lib.itb.ac.id

Print ...

Kontributor...

  • Pembimbing: 1.Prof. Dr. Hendra Gunawan







    2.Dr. Jalina Widjaja







    3. Dr. Yudi Soeharyadi, Editor: Dwi Ary Fuziastuti

File PDF...